es 333

Applicazione del Th di Carnot: la distanza AD^2=f(x) può scriversi in due modi che sono

ΑD^2 = a^2 + η^2 - 2·a·η·COS(pi/4 + x)

oppure

ΑD^2 = a^2 + μ^2 - 2·a·μ·COS(pi - x)

Riscrivo i due modi:

ΑD^2 = - 2·a·η·COS(x + pi/4) + a^2 + η^2

ΑD^2 = 2·a·μ·COS(x) + a^2 + μ^2

Possiamo utilizzare una qualsiasi delle due  relazioni.

Se utilizziamo la prima:

η/SIN(3·pi/4 - x) = √2·a/SIN(pi/4)---> η = 2·a·SIN(x + pi/4)

Se utilizziamo la seconda:

μ/SIN(x) = √2·a/SIN(pi/4)---> μ = 2·a·SIN(x)

(Th seni)

per cui con la prima:

f(x) =- 2·a·(2·a·SIN(x + pi/4))·COS(x + pi/4) + a^2 + (2·a·SIN(x + pi/4))^2

f(x) = - 4·a^2·SIN(x + pi/4)·COS(x + pi/4) + 4·a^2·SIN(x + pi/4)^2 + a^2

Con la seconda:

f(x) = 2·a·(2·a·SIN(x))·COS(x) + a^2 + (2·a·SIN(x))^2

f(x) = 4·a^2·SIN(x)·COS(x) + 4·a^2·SIN(x)^2 + a^2

Entrambe le due scritture  sono equivalenti a quella fornita dal testo:

f(x)=(3 + 2·√2·SIN(2·x - pi/4))·a^2

Con il vincolo: 0 ≤ x ≤ 3/4·pi, il max si ottiene da f'(x)=0 quindi da:

4·√2·a^2·SIN(2·x + pi/4) = 0

x = 3·pi/8