[Risolto] es. 285?

Conosco l'eccentricità, un punto in cui passa l'ellisse e l'asse in cui si trovano i fuochi.

Scrivo l'equazione canonica dell'ellisse centrata nell'origine, sostituendo a $x$ e $y$ le coordinate del punto in cui passa:

$\dfrac{16}{a^{2}} + \dfrac{5}{b^{2}} \, = \, 1$

Sapendo che l'asse su cui passano i fuochi è l'asse delle ascisse l'eccentricità $e$ vale:

$e \, = \, \sqrt{\dfrac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}}$

$e^{2} \, = \, \dfrac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}$

Adesso si tratta di risolvere il sistema:

$\left\{ \begin{array}{c@{=}c} \dfrac{16}{a^{2}} + \dfrac{5}{b^{2}} \, = \, 1 \\ e^{2} \, = \, \dfrac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} \end{array}\right\}$

Chiamo $\alpha \, = a^{2}$ e $\beta \, = \, b^{2}$

$\left\{ \begin{array}{c@{=}c} \dfrac{16}{\alpha} + \dfrac{5}{\beta} \, = \, 1 \\ e^{2} \, = \, \dfrac{\alpha - \beta}{\alpha} \end{array}\right\}$

Moltiplico la prima equazione per $\alpha$ in modo da ottenere $16 + \dfrac{5 \alpha}{\beta} \, = \, \alpha$

successivamente metto come denominatore comune $\beta$ e dopo aver svolto i calcoli trovo che $\alpha \, = \, \dfrac{16 \beta}{\beta -5}$ 

sostituisco il valore trovato nella seconda equazione  e dopo aver svolto i calcoli trovo che  $\alpha \, = \, 36$ e $\beta \, = \, 9$

L'equazione dell'ellisse è: $\dfrac{x^{2}}{36} + \dfrac{y^{2}}{9} \, = \, 1 \, \longrightarrow \, x^{2} + 4y^{2} \, = \, 36$

I fuochi hanno coordinate :$F_{1} \, = \, (-c,0)$  $F_{2} \, = \, (c,0)$ dove $c \, = \, \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

facendo i calcoli le coordinate sono $F_{1} \, = \, (-3 \sqrt{3}, 0)$ e 

$F_{2} \, = \, (3 \sqrt{3}, 0)$

I vertice della base hanno coordinata $x \, = \, 3 \sqrt{3}$ e sostituendo questo valore nell'equazione dell'ellisse si trova che i valori  $y$ sono $y_{1} \, = -\dfrac{3}{2}$ e $y_{2} \, = \, \dfrac{3}{2}$

Il vertice $C$ del triangolo si trova all'estremità sinistra dell'ellisse con coordinata $x \, = \, -6$

La base del triangolo vale $3$ e l'altezza $3 \sqrt{3} + 6 \, = 3 \cdot(\sqrt{3} + 2)$

L'area del triangolo inscritto vale quindi: $\dfrac{9}{2} \cdot (\sqrt{3} +2)$. 

 

 

@gio

Ciao.

L'equazione dell'ellisse è

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1---------------> x^2/α + y^2/β = 1

con α > β

passaggio da [-4, - √5]:

(-4)^2/α + (- √5)^2/β = 1-----> 16/α + 5/β = 1----> α = 16·β/(β - 5)

ponendo:

γ = c^2---->  γ = α - β 

Quindi sapendo che: e^2 = c^2/a^2 = (√3/2)^2----> c^2/a^2 = 3/4

Quindi:

{(α - β)/α = 3/4

{α = 16·β/(β - 5)

Risolvo il sistema ed ottengo: [α = 36 ∧ β = 9]

Equazione dell'ellisse: x^2/36 + y^2/9 = 1

quindi: x^2 + 4·y^2 = 36

γ = c^2 = 36 - 9----> c = - 3·√3 ∨ c = 3·√3

Quindi i fuochi sono:

[- 3·√3, 0]  e  [3·√3, 0]

Sull'ellisse i punti A e B hanno ascissa: x = 3·√3

(3·√3)^2 + 4·y^2 = 36----> 4·y^2 + 27 = 36----> y = - 3/2 ∨ y = 3/2

Quindi i punti A e B sono:

[3·√3, - 3/2]

[3·√3, 3/2]

mentre il punto C ha coordinate:

[-6, 0]

Quindi il triangolo richiesto ha area:

Α = 1/2·(3/2 + 3/2)·(3·√3 + 6)----> Α = 9·√3/2 + 9 = 9·(√3 + 2)/2

Per la prima parte dell'esercizio 285 si devono rammentare e applicare alcune relazioni.
"centro nell'origine e fuochi sull'asse x" ≡
≡ (Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1) & (0 < b < a) & (c = √(a^2 - b^2))
"ha eccentricità √3/2" ≡
≡ e = c/a = √(1 - (b/a)^2) = √3/2 ≡
≡ b = a/2 →
→ Γ ≡ (x/a)^2 + (y/(a/2))^2 = 1
"passa per P(- 4, - √5)" ≡
≡ (- 4/a)^2 + (- √5/(a/2))^2 = 1 ≡
≡ a = 6
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Ne risulta l'ellisse richiesta
* Γ ≡ (x/6)^2 + (y/3)^2 = 1
con
* semiassi (a, b) = (6, 3)
* semidistanza focale c = √(6^2 - 3^2) = 3*√3
* fuochi F(± 3*√3, 0)
* vertici V(± 6, 0) oppure V(0, ± 3)
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Per la seconda parte, con C(- 6, 0), occorre anzitutto calcolare A e B
* (x = 3*√3) & ((x/6)^2 + (y/3)^2 = 1) ≡ A(3*√3, - 3/2) oppure B(3*√3, 3/2)
per identificare
* base = |B - A| = 3
* altezza = |3*√3 - (- 6)| = 3*(2 + √3)
e calcolare
* S(ABC) = 3*3*(2 + √3)/2 = (9/2)*(2 + √3)
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Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%283*%E2%88%9A3%2C-3%2F2%29%283*%E2%88%9A3%2C3%2F2%29%28-6%2C0%29