Date la parabola $y=x^2-2 x+7$ e la retta $r$ di equazione $y=2 x-1$, determina l'equazione della retta parallela a $r$ passante per il vertice della parabola e calcola le coordinate dei punti di intersezione di tale retta con la parabola.
$$
[y=2 x+4 ;(1 ; 6) ;(3 ; 10)]
$$
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Ciao
Per determinare la retta, sappiamo che è parallela alla retta $y=2x-1$, di conseguenza conosciamo il coefficiente angolare $m=2$.
Determiniamo il vertice della parabola direttamente con la formula:
$$V\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$$
dove $\Delta = b^2-4ac$
e ricaviamo $V(1,6)$, che è anche il nostro primo punto di interesezione.
Determiniamo ora la retta dato un punto, il vertice, e il coefficiente angolare:
$$y-y_0=m(x-x_0)$$
sostituendo al posto di $x_0$ e $y_0$ e $m$ i relativi dati:
$y-6=2(x-1)$
otteniamo la retta
$y=2x+4$
Per determinare i punti di interezione basta mettere a sistema l'equazione della retta cercata con quella della parabola: otterremo due soluzioni una sarà la x del vertice (che già conosciamo) e l'altra sarà la seconda x che andremo poi a sostituire nell'equazione della parabola.
$\begin{cases}y=x^2-2x+7\\
y=2x+4\\
\end{cases}$
da cui deduciamo
$2x+4=x^2-2x+7$
$x^2-4x+3=0$
$x_1=1 \wedge x_2=3$
utilizziamo l'ultima soluzione per sostituirla poi nell'equazione della parabola:
$y=3^2-2 \cdot 3 +7$
$y=9-6+7$
$y=10$
$P(3,10)$
Se dovessi avere ulteriori dubbi o chiarimenti facci sapere 😉
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