[Risolto] Es

QUINTO QUESITO
Il grafico a sinistra mostra la semicirconferenza Γ nel semipiano y < 1 (NON y <= 1 perché i punti diametrali (± 2, 1) non sono marcati) centrata in C(0, 1) e di raggio r = 2, descritta dal sistema
* Γ ≡ (x^2 + (y - 1)^2 = 2^2) & (y < 1) ≡
≡ (y = 1 - √(4 - x^2)) & (- 2 < x < 2)
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Il grafico a destra mostra la parabola Γ con
* asse di simmetria sull'asse y
* concavità verso y > 0, quindi apertura a > 0
* vertice V(0, - 9)
* zeri in Z(± 3, 0)
quindi di equazione
* Γ ≡ y = a*x^2 - 9 ≡ y = a*(x + 3/√a)*(x - 3/√a) ≡
≡ (X1 = - 3/√a) oppure (X2 = 3/√a)
da cui
* a = 1
* Γ ≡ y = x^2 - 9 ≡ y = (x + 3)*(x - 3)

x^2 + y^2 - 4·x + 4 = 0

[2, 0] posizione del centro

r = √(α^2 + β^2 - c)----> r = √(2^2 + 0^2 - 4) =0

x=2 passa per il punto che individua la circonferenza di raggio nullo

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semicirconferenza

[0, 1] è il centro

r = 2

x^2 + (y - 1)^2 = 2^2

risolvo rispetto ad y:

y = 1 - √(4 - x^2) ∨ y = √(4 - x^2) + 1

quella in grassetto

parabola ad asse verticale: y = x^2 - 9

QUARTO QUESITO
La circonferenza
* x^2 + y^2 - 4*x + 4 = 0 ≡
≡ x^2 - 4*x + y^2 + 4 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - 2^2 + y^2 + 4 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 + y^2 = 0
ha
* centro C(2, 0)
* raggio r = 0
quindi è reale, ma degenere sul suo centro.
I suoi due punti comuni con la retta x = 2 coincidono in C.

TERZO QUESITO
Nell'equazione della circonferenza Γ generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
In quest'esercizio sono dati: basta sostituirli in Γ
* Γ ≡ (x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 18 = (3*√2)^2
Le intersezioni con gli assi coordinati sono le soluzioni del sistema
* (x*y = 0) & ((x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 18)
oppure l'unione delle soluzioni dei due sistemi
* (x = 0) & ((x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 18)
* (y = 0) & ((x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 18)
cioè
* (- 6, 0) semplice, (0, 0) doppia, (0, 6) semplice

PRIMO QUESITO
Per tracciare il grafico di una retta con equazione di forma esplicita in y
* (y = m*x + q) & (m*q != 0)
conviene riscriverla in forma normale segmentaria
* x/(- q/m) + y/q = 1
identificare le intersezioni con gli assi {X(- q/m, 0), Y(0, q)} e tirare la retta che le congiunge.
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Il grafico della retta data
* y = 2*x - 2 ≡ x/1 + y/(- 2) = 1
è la congiungente X(1, 0) con Y(0, - 2).
La richiesta retta congiungente Y(0, - 2) con P(- 4, 0) si scrive come
* x/(- 4) + y/(- 2) = 1 ≡ y = - x/2 - 2

SECONDO QUESITO
Per tracciare il grafico della parabola di equazione
* Γ ≡ y = 2*x^2 - 8*x + 8 ≡
≡ y = 2*(x - 2)^2
se ne devono prima identificare le proprietà geometriche.
1) Asse di simmetria parallelo all'asse y (mancano i termini in x*y e in y^2).
2) Concavità rivolta verso y > 0 (a = 2 > 0).
3) Vertice V(0, 2)
4) Tangente di vertice l'asse x.
Quindi il tracciamento per punti si fa risolvendo, per opportuni valori di k > 0, l'equazione
* 2*(x - 2)^2 = k ≡ x = 2 ± √(k/2)
e marcando, oltre a V, le coppie {(2 - √(k/2), k), 2 + √(k/2)}.
I due zeri coincidono nel vertice e il punto d'intercetta è Y(0, 8).