$(k-2) x^2-2 k x+(k+1)=0, \operatorname{con} k \neq 2$
a. le radici sono reali;
b. la somma delle radici è positiva;
c. il prodotto delle radici è uguale al quadruplo della loro somma.
$$
\left.[\text { a) } k \geq-2 \wedge k \neq 2 ; \text { b) }-2 \leq k<0 \vee k>2 ; c) k=\frac{1}{7}\right]
$$
Grazie mille!
Non ho capito come procedere.
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Livello 1
La condizione restrittiva "con k ≠ 2" rende lecita l'equivalenza
* p(k) = (k - 2)*x^2 + 2*k*x + (k + 1) = 0 ≡
≡ x^2 - 2*(k/(2 - k))*x + (k + 1)/(k - 2) = 0
che riscrive l'equazione data nella forma
* x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
con
* s = 2*k/(2 - k)
* p = (k + 1)/(k - 2)
* Δ = s^2 − 4*p
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
* X2 - X1 = √Δ = d (differenza)
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
* X1/X2 = (s - √Δ)^2/(s^2 - Δ) (rapporto)
* (X1)^2 + (X2)^2 = s^2 − 2*p (somma dei quadrati)
* (X1)^3 + (X2)^3 = s*(s^2 - 3*p) (somma dei cubi)
* 1/X1 + 1/X2 = s/p (somma degl'inversi)
* 1/(X1 * X2) = 1/p (prodotto degl'inversi)
* 1/(X1)^2 + 1/(X2)^2 = (s/p)^2 - 2/p (somma dei quadrati degl'inversi)
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Risposte
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a) "radici reali" ≡ Δ >= 0 ≡ s^2 >= 4*p ≡
≡ (2*k/(2 - k))^2 >= 4*(k + 1)/(k - 2) ≡
≡ (k > - 2) & (k != 2)
NB: per k = 2 la radice x = - 3/4 è sì reale, ma unica e semplice; tuttavia, la consegna essendo plurale, il caso degenere si deve escludere.
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b) s > 0 ≡ 2*k/(2 - k) > 0 ≡ 0 < k < 2
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c) p = 4*s ≡ (k + 1)/(k - 2) = 4*2*k/(2 - k) ≡ k = - 1/9
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