Equazioni non omogenee

-) Equazione differenziale. $y$"$ + y = sin(x)$

•  Omogenea associata. y" + y = 0
•  Polinomio caratteristico.  $ λ^2 + 1  $
• Radici polinomio caratteristico. $λ = \pm \, i $  due radici complesse coniugate
•  Soluzione generale dell'omogenea. $ y(x) = c_1 cos(x)  + c_2 sin(x) $ 

• Soluzione particolare. La funzione candidata è, $ \bar{y}(x) = Acos(x) + Bsin (x) $ con A, B numeri reali. Purtroppo la funzione candidata è già soluzione dell'omogenea, si dovrà quindi candidarne una nuova cioè $ \bar{y}(x) = Axcos(x) + Bxsin (x) $, ovvero moltiplicarla per x.

• • Procedendo con le derivate: 

1. $ \bar{y}(x) = Axcos(x) + Bxsin (x) $ 
2. $ \bar{y}'(x) = (B-Ax)sin(x) + (A+Bx)cos(x)  $ 
3. $ \bar{y}$"$(x) = (2B-Ax)cos(x) - (2A+Bx)sin (x) $

Introducendo i valori nell'equazione differenziale

$ (2B-Ax)cos(x) - (2A+Bx)sin (x) + Axcos(x) + Bxsin (x)  = sin(x) \; ⇒ \; 2Bcos(x)  = 0 \; \land \; -2Asinx = sinx \; ⇒ \; A = -\frac{1}{2} \; \land \; B = 0 $

•  
  • Una soluzione particolare è così $ \bar{y}(x) = -\frac{1}{2} x cos(x) $.

• Soluzione generale equazione differenziale non omogenea. Si tratta di sommare alla soluzione generale dell'omogenea una soluzione particolare, quindi
  • $y(x) = c_1 cos(x)  + c_2 sin(x) -\frac{1}{2} x cos(x) $