Buona domenica pomeriggio a tutti; allego alla presente 2 files contenti le equazioni logaritmiche n. 578 e 583. Chiedo gentilmente il vostro prezioso aiuto per la loro soluzione. La prima é x = 3/2, mentre la seconda è x = 1/8 oppure sqrt 2. Ringrazio tutti i responsori per la loro costante collaborazione.
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Genius II
Di nuovo @beppe
LOG(2,2·x + 3)/LOG(2,x) = LOG(2,4·x^2)/LOG(2,x) - 1
C.E.
{2x+3>0
{x>0
quindi [x>0]
Cambio base:
(LN(2·x + 3)/LN(2))/((LN(x)/LN(2))) = (LN(x^2)/LN(2) + 2))/((LN(x)/LN(2))) - 1
LN(2·x + 3)/LN(x) = (LN(x^2)/LN(x) + 2·LN(2)/LN(x)) - 1
LN(2·x + 3)/LN(x) = LN(4·x^2)/LN(x) - 1
LN(2·x + 3)/LN(x) = - LN(1/(4·x))/LN(x)
LN(2·x + 3) = - LN(1/(4·x))
LN(2·x + 3) = LN(4·x)
2·x + 3 = 4·x
x = 3/2
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2·LOG(2,x)^2 + LOG(2,x^5) - 3 = 0
(2·LOG(2,x)^2 + LOG(2,x^5)) - 3 = 0
C.E. [x>0]
cambio base
LN(x^5)/LN(2) + 2·LN(x)^2/LN(2)^2 = 3
moltiplico per LN(2)^2
LN(2)·LN(x^5) + 2·LN(x)^2 - 3·LN(2)^2 = 0
pongo:
LN(2) = α
LN(x) = t
per cui risolvo:
2·t^2 + 5·t·α - 3·α^2 = 0------> (t + 3·α)·(2·t - α) = 0
quindi:
t = α/2 ∨ t = - 3·α
ossia
LN(x) = LN(2)/2-------> x = √2
LN(x) = - 3·LN(2)---------> x = 1/8
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Genius II
A colpo d'occhio mi sembrano tutt'e due di tipi già visti e discussi.
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L'equazione
578) log(2, 2*x + 3)/log(2, x) = log(2, 4*x^2)/log(2, x) - 1
è definita per (x != - 3/2) & (x != 0) & (x != 1); esclusi questi valori la si può sottoporre alle solite semplificazioni avendo presente sia x che log(2, x) sono non nulli e che si tratta di un'equazione e perciò il loro segno è irrilevante.
* log(2, 2*x + 3)/log(2, x) = log(2, 4*x^2)/log(2, x) - 1 ≡
≡ log(2, 2*x + 3)/log(2, x) - log(2, 4*x^2)/log(2, x) + log(2, x)/log(2, x) = 0 ≡
≡ (log(2, 2*x + 3) - log(2, 4*x^2) + log(2, x))/log(2, x) = 0 ≡
≡ log(2, 2*x + 3) - log(2, 4*x^2) + log(2, x) = 0 ≡
≡ log(2, 2*x + 3) = log(2, 4*x^2) - log(2, x) ≡
≡ log(2, 2*x + 3) = log(2, 4*x) ≡
≡ 2^log(2, 2*x + 3) = 2^log(2, 4*x) ≡
≡ 2*x + 3 = 4*x ≡
≡ x = 3/2
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Analogo è il discorso per l'equazione
583) 2*(log(2, x))^2 + log(2, x^5) - 3 = 0 ≡
≡ 2*(log(2, x))^2 + 5*log(2, x) - 3 = 0 ≡
≡ (log(2, x))^2 + (5/2)*log(2, x) - 3/2 = 0 ≡
≡ u^2 + (5/2)*u - 3/2 = 0 ≡
≡ (u + 3)*(u - 1/2) = 0 ≡
≡ (u = - 3) oppure (u = 1/2) ≡
≡ (log(2, x) = - 3) oppure (log(2, x) = 1/2) ≡
≡ (2^log(2, x) = 2^(- 3)) oppure (2^log(2, x) = 2^(1/2)) ≡
≡ (x = 1/8) oppure (x = √2)
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