[Risolto] Equazioni goniometriche

Riscrivo:

ABS(COS(α)) = COS(α + pi/3)

Libero il modulo dal primo membro:

ABS(COS(α)) = COS(α)

se risulta: - pi/2 ≤ α ≤ pi/2 (angolo 4° quadrante e primo quadrante: coseno non negativo)

ABS(COS(α)) = - COS(α)

se risulta: pi/2 < α < 3/2·pi (angolo del 2°quadrante e 3° quadrante: coseno negativo)

Al 2° membro ho:

COS(α + pi/3) = COS(α)·COS(pi/3) - SIN(α)·SIN(pi/3)

COS(α + pi/3) = COS(α)/2 - √3·SIN(α)/2

Pongo poi:

SIN(α) = Υ

COS(α) = Χ

Υ^2 + Χ^2 = 1

Quindi risolvo due sistemi di cui poi dovrò fare l'unione delle due soluzioni.

1° Sistema

{Χ = Χ/2 - √3·Υ/2

{Υ^2 + Χ^2 = 1

che fornisce soluzione:

[Υ = 1/2 ∧ Χ = - √3/2, Υ = - 1/2 ∧ Χ = √3/2]

Υ = - 1/2 ∧ Χ = √3/2 (la prima si scarta perché corrisponde ad un angolo del 2° quadrante: coseno negativo)

{SIN(α) = - 1/2

{COS(α) = √3/2

quindi: α = - pi/6

2° Sistema

{-Χ = Χ/2 - √3·Υ/2

{Υ^2 + Χ^2 = 1

che fornisce soluzione:

[Υ = √3/2 ∧ Χ = 1/2, Υ = - √3/2 ∧ Χ = - 1/2]

Υ = - √3/2 ∧ Χ = - 1/2 (la prima si scarta perché corrisponde ad un angolo del 1° quadrante: coseno positivo)

{SIN(α) = - √3/2

{COS(α) = - 1/2

soluzione: [α = - 2·pi/3 , α = 4·pi/3 ]

Quindi soluzioni dell'equazione iniziale proposta:

α = - pi/6 + 2·k·pi ∨ α = - 2·pi/3 + 2·k·pi ∨ α = 4·pi/3 + 2·k·pi