[Risolto] equazioni goniometriche

Ogni combinazione lineare "a*sin(x) + b*cos(x)" non banale (a e b non nulli) ha periodo 2*π.
Pertanto la risoluzione di ogni equazione della forma "a*sin(x) + b*cos(x) = c" può limitarsi al primo giro.
* (a*sin(x) + b*cos(x) = c) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (a*sin(x)/√(a^2 + b^2) + b*cos(x)/√(a^2 + b^2) = c/√(a^2 + b^2)) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (cos(θ)*sin(x) + sin(θ)*cos(x) = c/√(a^2 + b^2)) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (sin(x + θ) = c/√(a^2 + b^2)) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (sin(x + arctg(b/a)) = c/√(a^2 + b^2)) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (x + arctg(b/a) = arcsin(c/√(a^2 + b^2))) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (x = arcsin(c/√(a^2 + b^2)) - arctg(b/a)) & (0 <= x < 2*π)
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Nel caso di "sinx+(√2-1)cosx-1=0" si ha
* (a, b, c) = (1, (√2 - 1), 1)
da cui
* b/a = (√2 - 1)
* c/√(a^2 + b^2) = 1/√(1^2 + (√2 - 1)^2) = (√2 + 1)*√(2 - √2)/2
* arcsin((√2 + 1)*√(2 - √2)/2) = 67° 30'
* arctg(√2 - 1) = 22° 30'
* x = (67° 30') - (22° 30') = 45°
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Verifica
* sin(45°) + (√2 - 1)*cos(45°) = 1/√2 + (√2 - 1)/√2 = 1
QED
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DETTAGLI
* sin(θ) = b/√(a^2 + b^2)
* cos(θ) = a/√(a^2 + b^2)
* tg(θ) = b/a ≡ θ = arctg(b/a)

SIN(x) + (√2 - 1)·COS(x) = 1

pongo:

SIN(x) + (√2 - 1)·COS(x) = Α·SIN(x + φ)

con

Α·SIN(x + φ) = Α·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

per confronto:

{Α·SIN(φ) = √2 - 1

{Α·COS(φ) = 1

Divido membro a membro:

TAN(φ) = √2 - 1

φ = pi/8

{Α·SIN(pi/8) = √2 - 1

{Α·COS(pi/8) = 1

In ogni caso ottengo:

Α = √(4 - 2·√2)

√(4 - 2·√2)·SIN(x + pi/8) = 1

SIN(x + pi/8) = √(√2 + 2)/2

SIN(α) = √(√2 + 2)/2

α = 3·pi/8  v  α = 5·pi/8

x + pi/8 = 3/8·pi----> x = pi/4

x + pi/8 = 5·pi/8---->x = pi/2

Quindi: x = pi/4 +2kpi v x = pi/2+2kpi

 

Osserviamo che

A^2 + B^2 = 1 + 2 + 1  - 2 rad 2 = 4 - 2 rad(2)

sin x * 1/(rad(4 - 2 rad(2))) + (rad(2) - 1)/rad(4 - 2 rad(2)) = 1/rad(4 - 2 rad(2))

non si può esprimere con la formula dei radicali doppi

ma si può osservare che se lo scriviamo come

sin x cos f + cos x sin f = 1/rad(4 - 2 rad(2))

allora tg f = rad(2) - 1 => f = pi/8

Pertanto

sin (x + pi/8) = 1/rad(4 - 2 rad(2))

x = -pi/8 + arcsin* 1/rad(4 - 2 rad 2) + 2 k pi

x  = 7/8 pi - arcsin* 1/rad(4 - 2 rad 2) + 2 k pi

 

k in Z

L'arcsin*( 1/rad(4 - 2 rad(2)) equivale a 3/8 pi

per cui

x = pi/4 + 2 k pi   V  pi/2 + 2 k pi