[Risolto] Equazioni fratte

Lo svolgimento di qualsiasi equazione consiste essenzialmente di due fasi.
Riconoscimento del tipo e riduzione dell'equazione ad una qualche forma normale.
Applicazione alla forma normale di un'opportuna procedura risolutiva codificata.
Per quest'equazione, il cui tipo è nel titolo (a meno dell'attributo: si tratta di frazioni di polinomi, funzioni razionali fratte.) la forma normale da ottenere è
* (polinomio = 0) & (condizioni restrittive)
Le condizioni restrittive sugli zeri del polinomio devono assicurare che non si elenchi fra gli zeri nessun valore che possa annullare anche un solo denominatore.
Per quest'equazione, si tratta di escludere i valori
* {- 5/2, 1}
Esclusi quei due valori la riduzione alla forma
* (polinomio = 0) & (x non in {- 5/2, 1})
si ottiene coi pochi passaggi che seguono, nella certezza che nessun denominatore sia zero.
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A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* (13 - 6*x)/(2*x + 5) - (8 - 3*x)/(x - 1) = (15*x - 1)/(4*x^2 + 6*x - 10) ≡
≡ (13 - 6*x)/(2*x + 5) - (8 - 3*x)/(x - 1) - (15*x - 1)/(4*x^2 + 6*x - 10) = 0
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B) Moltiplicare membro a membro per "4*x^2 + 6*x - 10".
* (13 - 6*x)/(2*x + 5) - (8 - 3*x)/(x - 1) - (15*x - 1)/(4*x^2 + 6*x - 10) = 0 ≡
≡ (13 - 6*x)*(4*x^2 + 6*x - 10)/(2*x + 5) - (8 - 3*x)*(4*x^2 + 6*x - 10)/(x - 1) - (15*x - 1) = 0 ≡
≡ 2*(13 - 6*x)*(x - 1) - 2*(8 - 3*x)*(2*x + 5) - (15*x - 1) = 0
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C) Sviluppare; commutare; ridurre.
* 2*(13 - 6*x)*(x - 1) - 2*(8 - 3*x)*(2*x + 5) - (15*x - 1) = 0 ≡
≡ - 12*x^2 + 38*x - 26 - (- 12*x^2 + 2*x + 80) - 15*x + 1 = 0 ≡
≡ - 12*x^2 + 38*x - 26 + 12*x^2 - 2*x - 80 - 15*x + 1 = 0 ≡
≡ - 12*x^2 + 12*x^2 + 38*x - 2*x - 15*x - 26 - 80 + 1 = 0 ≡
≡ 21*x - 105 = 0
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D) Presentare la forma normale e la relativa soluzione.
* (21*x - 105 = 0) & (x non in {- 5/2, 1}) ≡
≡ (x = 5) & (x non in {- 5/2, 1}) ≡
≡ x = 5
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E) Verificare con altri mezzi.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2813-6*x%29%2F%282*x%2B5%29-%288-3*x%29%2F%28x-1%29%3D%2815*x-1%29%2F%284*x%5E2%2B6*x-10%29
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NOTA: TUTTA LA PAPPARDELLA PRECEDENTE E' LA PROCEDURA CHE GARENTISCE LA CORRETTEZZA al di là delle piccole distrazioni, ma ovviamente non si devono trascurare i casi particolari individuabili da un colpo d'occhio appena un po' allenato.
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* (13 - 6*x)/(2*x + 5) - (8 - 3*x)/(x - 1) = (15*x - 1)/(4*x^2 + 6*x - 10) ≡
≡ ((13 - 6*x)*(x - 1) - (8 - 3*x)*(2*x + 5))/((2*x + 5)*(x - 1)) = (15*x - 1)/(2*(2*x^2 + 3*x - 5)) ≡
≡ (18*x - 53)/(2*x^2 + 3*x - 5) = (15*x - 1)/(2*(2*x^2 + 3*x - 5)) ≡
≡ 2*(18*x - 53)/(2*x^2 + 3*x - 5) = (15*x - 1)/(2*x^2 + 3*x - 5) ≡
≡ 2*(18*x - 53) = (15*x - 1) ≡
≡ 21*x - 105 = 0 ≡
≡ x = 5

Per prima cosa devi operare il mcm fra $2x+5$ e $x-1$

$\frac{13-6x}{2x+5}-\frac{8-3x}{x-1}=\frac{15x-1}{4x^2+6x-10}$

$\frac{(13-6x)(x-1)-(8-3x)(2x+5)}{(2x+5)(x-1)}=\frac{15x-1}{4x^2+6x-10}$

$\frac{(13-6x)(x-1)-(8-3x)(2x+5)}{2x^2+3x-5}=\frac{15x-1}{2(2x^2+3x-5)}$

adesso semplifica $2x^2+3x-5$ da entrambi i denominatori e ottieni:

$(13-6x)(x-1)-(8-3x)(2x+5)=\frac{15x-1}{2}$

$13x-13-6x^2+6x-(16x+40-6x^2-15x)=\frac{15x-1}{2}$

$18x-53=\frac{15x-1}{2}$

$36x-106=15x-1$

$21x=105$

$x=105/21=5$