[Risolto] Equazioni e sistemi di 2* grado

Paolo acquista c camicie, Gabriele m maglie

c + m = 7

ogni camicia costa p

c p = 160

ogni maglia costa g

m g = 108

inoltre si sa che

p = g - 22

il sistema é di grado 1 x 2 x 2 x 1 = 4;

ci sono 4 incognite, soggette ai vincoli

p >= 0, g >= 0, c, m in N con c <= 7 e m <= 7;

sostituendo allora m = 7 - c e g = p + 22

si ottiene il sistema

{ c p = 160

{ (7 - c)(p + 22) = 108

da cui

7p + 154 - cp - 22c = 108

7p - 22c = -154 + 160 + 108 = 114

7p - 114 - 22*160/p = 0

7p^2 - 114p - 3520 = 0

Applicando, con p =/= 0, la formula risolutiva ridotta e prendendo

solo la radice postiva, si constata che

p = [57 + sqrt (3249 + 3520*7)]/7 = 32 euro

e quindi

c = 160/32 = 5

m = 7 - 5 = 2

g = 22 + 32 = 54

infatti m*g = 2*54 = 108

Diciamo:

x= prezzo di una singola camicia; y=N° camicie acquistate da Paolo. Quindi:

x·y = 160 .....e questo vale per Paolo!

Per Gabriele invece:

x+22= prezzo di ciascuna maglia ( in base al testo); z= N°maglie acquistate da Gabriele. Quindi:

(x+22)*z=108

L'ultima informazione è: "Acquistano In totale sette capi di abbigliamento"

Quindi devi scrivere un sistema di 3 equazioni:

{xy=160

{(x+22)*z=108

{y+z=7

Modello matematico facilmente risolvibile che porta alla soluzione:

x = 32 ∧ y = 5 ∧ z = 2

(Ho escluso la soluzione x = - 110/7 ∧ y = - 112/11 ∧ z = 189/11 perché.... indovina tu perché?)

Quindi: Quante camice ha acquistato Paolo e quante maglie ha acquistato Gabriele? 

5 camicie le ha acquistate Paolo ; 2 maglie ha acquistato Gabriele

Una camicia costa 32€

Una maglia costa 32+22=54 €

indica con x = prezzo singola camicia acquistata, n = numero camice acquistate da Paolo e con y = prezzo singola maglia acquistata da Gabriele, m = numero maglie acquistate da Gabriele

a questo punto traduciamo in matematichese:

Acquistano in totale 7 capi: $n+m = 7$

Paolo spende in totale 160 euro e le camice hanno tutte lo stesso prezzo: $nx =160$.

Gabriele spende in totale 108 euro e le maglie hanno tutte lo stesso prezzo: $my =108$.

Ciascuna camicia acquistata da Paolo costa 22 euro in meno di ciascuna maglia acquistata da Gabriele:

$x = y-22$

Poniamo tutto a sistema

$\begin{cases} n+m = 7 \\ nx =160 \\ my =108 \\ x = y-22 \end{cases}$

chiaramente posso accettare solo soluzioni intere essendo n ed m quantità di capi acquistati.

A) "come impostare il sistema"
A1) nominare i risultati richiesti e decidere le incognite del problema
* x > 0: numero di camicie
* 7 - x > 0: numero di maglie
* y > 0: prezzo di una maglia
* y - 22 > 0: prezzo di una camicia
A2) stabilire gl'intervalli di variabilità
* (x > 0) & (7 - x > 0) ≡ (0 < x < 7) ≡ (x in [1, 6])
* (y > 0) & (y - 22 > 0) ≡ (y > 22)
A3) scrivere le equazioni che modellano la descrizione in narrativa
* "Paolo acquista ... complessivamente 160 €" ≡ x*(y - 22) = 160
* "Gabriele acquista ... spendendo in tutto 108 €" ≡ (7 - x)*y = 108
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B) "aiuto nel risolvere il sistema di 2* grado"
B1) il sistema ha due equazioni di 2° grado, quindi è di 4° grado ed ha quattro soluzioni; le condizioni restrittive sub A2 si spera che ne limitino il numero.
B2) (x*(y - 22) = 160) & ((7 - x)*y = 108) & (0 < x < 7) & (y > 22) ≡
≡ (y = 160/x + 22) & (y = 108/(7 - x)) & (0 < x < 7) & (y > 22) ≡
≡ (108/(7 - x) = 160/x + 22) & (y = 108/(7 - x)) & (0 < x < 7) & (y > 22) ≡
≡ ((x = - 112/11) oppure (x = 5)) & (y = 108/(7 - x)) & (0 < x < 7) & (y > 22) ≡
≡ ((non in [1, 6]) oppure (x = 5)) & (y = 108/(7 - 5)) & (y > 22) ≡
≡ (x = 5) & (y = 54)
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C) RISPOSTE
C1) "Quante camicie ... Paolo e quante maglie ... Gabriele?"
* x = 5: numero di camicie
* 7 - x = 2: numero di maglie
C2) "Quanto costano i singoli capi acquistati dai due amici?"
* y = 54: prezzo di una maglia
* y - 22 = 32: prezzo di una camicia