[Risolto] equazioni e disequazioni

r·x^2 = s·x + t

r·x^2 - s·x - t = 0

Δ < 0 ; r = 1

(-s)^2 + 4·1·t < 0-----> s^2 + 4·t < 0

[s, t]-----> [1, -1]

quindi: 1^2 + 4·(-1) < 0----> true

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Δ = 0----> (-s)^2 + 4·r·t = 0

4·r·t + s^2 = 0

s = 4 ; r = 2; t = -2

4·2·(-2) + 4^2 = 0-----> 0 = 0 OK!

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r·x^2 - s·x - t = 0

per Δ = 0 ; r=t:

4·r·t + s^2 = 0----> 4·t·t + s^2 = 0

quindi: s^2 + 4·t^2 = 0

che per s ≠ 0 ∧ t ≠ 0

non può mai annullarsi!!

 

volevi scrivere rx^2 = sx + t   ?

In questo caso, se r = 1

allora s = 1 e t = -1 assicurano l'inesistenza di soluzioni reali perché

viene x^2 - x + 1 = 0 che ha delta negativo.

Dopo conferma svolgo gli altri due.

b) rx^2 - sx - t = 0 ha una sola radice se   s^2 + 4rt = 0

ovvero se t = - s^2/(4r).

c) se r = t allora    x1*x2 = -t/r = -1

e se x1 é reale ( e per ipotesi diverso da 0 ) allora anche il suo

antireciproco x2 = -1/x1 é reale e diverso da 0.

Anzitutto ti clicko un cuoricino come ringraziamento per aver pubblicato in modo intelligente:
* trascrizione del testo come prescritto (facilita assai, grazie!);
* foto diritta e quasi leggibile come assicurazione contro eventuali errori di copia (p.es. t → 1).
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Per la condizione restrittiva
* {r, s, t} ∈ R\{0}
è lecito scrivere
* r*x^2 = s*x + t ≡ r*x^2 - s*x - t = 0 ≡
≡ x = (s/r ± √(4*t/r + (s/r)^2))/2
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RISPOSTE AI QUESITI
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a. Per r = 1 determina una coppia di valori (s, t) per i quali l'equazione non ha soluzioni reali.
Cioè per i quali il radicando è negativo
* (r = 1) & (4*t/r + (s/r)^2 < 0) ≡ t < - s^2/4 → p.es. (s, t) = (- 4, - 5)
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b. Determina una condizione per r, s e t per la quale l'equazione ha esattamente una soluzione reale.
Cioè valori per i quali il radicando è zero
* 4*t/r + (s/r)^2 = 0 ≡ t = - s^2/(4*r)
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c. Spiega perché per r = t l'equazione non può avere esattamente una soluzione reale.
Cioè perché il radicando è non nullo
* (r = t) & (4*t/r + (s/r)^2 = 0) ≡
≡ (r = t) & (4*t/t + (s/t)^2 = 0) ≡
≡ (r = t) & (2^2 + (s/t)^2 = 0)
Il motivo è nella condizione restrittiva {r, s, t} ∈ R\{0}
* 2^2 + (s/t)^2 > 0 ∀ {s, t} ∈ R\{0}