Equazioni differenziali, realtà e modelli

Question

[attach]115711[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

EidosM · Accepted Answer

a) Omogenea associata

y' = - y/2

dy/y = - dt/2

ln |y| = -t/2 + C

y = C e^(-t/2)

Posto y(t) = u(t) e^(-t/2)

u' e^(-t/2) + u (-1/2) e^(-t/2) + u/2 e^(-t/2) = 20 e^(-t/2)

u' = 20

u = 20 t + C

y = (20 t + C) e^(-t/2)

10 = C * e^0 => C = 10

y(t) = (20t + 10) e^(-t/2)

b) puoi fare un semplice studio di funzione

c) (20 t + 10) e^(-t/2) = 10

é una equazione trascendente che va risolta con un metodo

approssimato, bisezione o tangenti.

Su Desmos leggo T = 4.673 h ~ 4h 40 min

d) Tm = 1/(3 - 0) * S_[0,3] (20 t + 10) e^(-t/2) dt =

= 10/3 S_[0,3] (2t + 1) e^(-t/2) dt .

Risulta allora

Tm = 10/3 [ (2t + 1) e^(-t/2) : (-1/2) - S 2 e^(-t/2) : (-1/2) dt ]_[0,3] =

= 10/3 [ -2(2t + 1) e^(-t/2) + 4 e^(-t/2) : (-1/2) ]_[0,3] =

= 10/3 [ (-4t - 2 ) e^(-t/2) - 8 e^(-t/2) ]_[0,3] =

= 10/3 [ (8 + 4t + 2) e^(-t/2) ]_[3,0] =

= 20/3 [ (5 + 2t) e^(-t/2) ]_[3,0] =

= 20/3 [5*1 - 11 e^(-3/2) ] =

= (100 - 220 e^(-3/2))/3 ~

~ 16.97 °C

EidosM

(@eidosm)

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16/06/2025 07:12