Matematica ed elettronica Considera l'equazione differenziale $y^{\prime \prime}=-\frac{y}{9}$.
a. Determina l'integrale generale.
b. Determina la soluzione particolare $y=f(x)$, il cui grafico interseca l'asse $y$ nel punto di coordinate $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ e ha in tale punto retta tangente parallela alla retta di equazione $y=-\frac{\sqrt{3}}{6} x+1$.
c. Verifica che $f(x)=\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{5}{6} \pi\right)$ e che $f^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{2}{3} x+\frac{5}{3} \pi\right)$.
d. Poni $y=i$ e $x=t$ e interpreta l'equazione $i=f(t)$ come la funzione che esprime l'intensità di una corrente alternata in funzione del tempo. Determina il valore efficace $E$ di tale corrente alternata, di intensità $i=f(t)$, in base alla formula:
$$
E=\sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T f^2(t) d t}
$$
dove $T$ indica il periodo della corrente alternata.
$$
\left[\text { a. } f(x)=c_1 \sin \frac{x}{3}+c_2 \cos \frac{x}{3} ; \text { b. } f(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{x}{3}+\frac{1}{2} \cos \frac{x}{3} ; \text { d. } \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
$$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
