Equazioni differenziali, problemi.

a) le radici devono essere a parte reale nulla

poiché sono coniugate

2k = 0

k = 0

b) l'equazione algebrica associata

u^2 + 2k u + (k^2 + 1)

deve avere radici a parte reale negativa

se sono reali ci devono essere due permanenze,

idem se sono complesse coniugate

1, 2k , k^2 + 1 devono avere lo stesso segno

2k > 0

k > 0

Sia k un numero reale (R). Considera la seguente equazione differenziale:

y'' + 2ky' + (k^2 + 1)y = 0.

Questa è un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti.

L'equazione caratteristica associata è:

r^2 + 2kr + (k^2 + 1) = 0.

Calcoliamo il discriminante Delta:

Delta = (2k)^2 - 4(1)(k^2 + 1)

Delta = 4k^2 - 4k^2 - 4

Delta = -4.

Dato che Delta = -4 è minore di 0, le radici dell'equazione caratteristica sono complesse coniugate.

Le radici sono date da:

r = [-2k ± sqrt(-4)] / 2

r = [-2k ± 2i] / 2

r = -k ± i.

Quindi, le radici sono nella forma alfa ± i beta, dove alfa = -k e beta = 1.

La soluzione generale dell'equazione differenziale è:

y(x) = e^(alfa * x) * (c1 * cos(beta * x) + c2 * sin(beta * x))

Sostituendo i valori di alfa e beta:

y(x) = e^(-k * x) * (c1 * cos(x) + c2 * sin(x))

a. Stabilisci per quale valore del parametro k tutte le sue soluzioni sono periodiche.

Affinché le soluzioni siano periodiche, il termine esponenziale e^(-k * x) deve essere una costante. Questo si verifica solo se l'esponente è zero per ogni x, ovvero -k * x = 0.

Questo implica che k deve essere nullo.

Se k = 0, la soluzione diventa:

y(x) = e^(0 * x) * (c1 * cos(x) + c2 * sin(x))

y(x) = c1 * cos(x) + c2 * sin(x).

Questa è una combinazione lineare di funzioni periodiche (seno e coseno con periodo 2*pi greco), ed è quindi periodica.

Pertanto, tutte le soluzioni sono periodiche se e solo se k = 0.

b. Stabilisci per quali valori del parametro k tutte le sue soluzioni sono infinitesime per x che tende a più infinito.

Affinché le soluzioni siano infinitesime per x che tende a più infinito, ovvero il limite di y(x) per x che tende a più infinito è 0, il termine esponenziale e^(-k * x) deve tendere a zero.

Questo accade se l'esponente -k * x tende a meno infinito per x che tende a più infinito.

Ciò significa che il coefficiente di x nell'esponente (-k) deve essere negativo, ovvero -k < 0.

Moltiplicando per -1, otteniamo k > 0.

Pertanto, tutte le soluzioni sono infinitesime per x che tende a più infinito se k > 0.