Equazioni differenziali, problemi

dy/dx = -y

dy/y = - 1·dx

Integro entrambi i membri:

∫(1/y) dy = LN(y)

∫(-1) dx = -x

quindi:

LN(y) = -x + c----> y = e^(c - x)

anche:

y = C·e^(-x)

x = 0 : y = e

e = C·e^(-0)---> C = e

y = e·e^(-x)----> y = e^(1 - x)

per x = 0 : y = e^(1 - 0)---> y = e

A [0, e]

per x = 1: y = e^(1 - 1)---> y = 1

B [1, 1]

∫(e^(1 - x) - 1) dx = - e^(1 - x) - x

da valutare da x = 0 ad x = 1

- e^(1 - 1) - 1=-2

- e^(1 - 0) - 0 = -e

Α = -2 - (-e)-----> Α = e - 2

y = e^(1 - x)

risolvo rispetto ad x:

x = 1 - LN(y)

Il volume V di rotazione è dato dall'integrale:

∫(pi·(1 - LN(y))^2) dy = pi·y·LN(y)^2 - 4·pi·y·LN(y) + 5·pi·y

valutato da y = 1  ad y = e

pi·e·LN(e)^2 - 4·pi·e·LN(e) + 5·pi·e = 2·pi·e

pi·1·LN(1)^2 - 4·pi·1·LN(1) + 5·pi·1 = 5·pi

V = 2·pi·e - 5·pi---> V = pi·(2·e - 5)

a.  Problema di Cauchy. 

• $ y' = - y $

Equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costati la cui soluzione generale è

• $ y(x) = c_1 e^{-x} $

Determiniamo la costante reale c₁.

• $ y(0) = e \; ⇒ \; c_1 e^{0} = e  \; ⇒ \; c_1 = e $

La soluzione del problema di Cauchy è quindi

• $ y(x) = e \cdot e^{-x}  = e^{1-x}$  

b. https://www.desmos.com/calculator/thdq5aurgu

c.  Area S è data dall'area sottesa alla curva y(x) = e^(1-x) e l'asse delle x alla quale va sottratta l'area del quadrato Q = [0,1]x[0,1] che vale 1

$ S = \int_0^1 e^{1-x} \, dx -1  = \left. -e^{1-x} \right|_0^1 = e - 1 -1 = e - 2 $ 

d. Volume V del solidi di rotazione attorno all'asse y.

Determiniamo la forma analitica della funzione x(y).

dalla $y = e^{1-x} $ ricaviamo

$ ln\,y = 1-x \; ⇒ \; x = 1-ln(y) $

Il volume sarà dato dalla

$ V = \pi \int_1^e (1-ln\,y)^2 \, dy = \left. 5y+yln^2(y) - 4y ln(y) \right|_1^e = \pi(2e-5)$