Equazioni differenziali

$u$"$ -4u'+4u = t+1 $

ODE lineare a coefficienti costanti del 2° ordine non omogenea.

a. Soluzione generale dell'omogenea associata.

1. Equazione omogenea. $u$"$ -4u'+4u = 0 $
2. Polinomio caratteristico. $ λ^2-4λ+4 = (λ-2)^2 $
3. Radici polinomio caratteristico. $ λ = 2 $ con molteplicità 2
4. Soluzione generale dell'omogenea. $u(t) = c_1 e^{2t} + c_2 t e^{2t}$

b.  Soluzione particolare.

La cerchiamo tra i polinomi di grado uno cioè del tipo

$ \bar{u}(t) = a\, t + b $   con a, b numeri reali. In tal caso

$ \bar{u}'(t) = a $

$ \bar{u}$"$(t) = 0 $

introducendo tali valori nell'equazione si ottiene

$ 0 -4a +4(at+b) = t + 1 $

La cui soluzione è   $  a = \frac {1}{4} \; ∧ \;  b = \frac{1}{2} $

Una soluzione particolare è quindi

$ \bar{u}{t} = \frac {1}{4} t + \frac {1}{2} $

c.  Soluzione generale dell'equazione data.

E' la somma della soluzione generale dell'omogenea con la soluzione particolare.

$ u(t) = c_1 e^{2t} + c_2 t e^{2t} + \frac {1}{4} t + \frac {1}{2} $