[Risolto] EQUAZIONI DIFFERENZIALI

y' = y³ / (1+x²)

ODE a variabili separabili.

1. Soluzione banale y = 0
2. Per y ≠ 0

y' / y³ = 1 / (1+x²)

integrando

- 1 / (2y²)  = arctan(x) + c

1/y² = -2 arctan(x) + c

Osserviamo che, per questa equazione, la c non è una qualsivoglia costante ma è vincolata dal fatto che anche il secondo membro deve essere positivo.

y  = ± 1 / √(c - 2arctan(x)) 

Osservazione sulla soluzione "francese".

Non è sbagliato, seppur ridondante, scrivere le due costanti ma, è un errore grave ipotizzare che assumano lo stesso valore c. Avrebbe dovuto scrivere

- 1 / (2y²)  + c₁ = arctan(x) + c₂

- 1 / (2y²) = arctan(x) + c₂ - c₁

- 1 / (2y²) = arctan(x) + c, con la costante c = c₂ - c₁

ecco che ricompare la c. 

 

Hai dimenticato di aggiungerla quando hai fatto l'integrale di 1/(1+x^2) dx