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[Risolto] EQUAZIONI di secondo grado, PARAMETRICHE

  

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Ciao, volevo gentilmente chiedervi se potete aiutarmi con quest esercizii ?

1) Data l'equazione (x^2-4x-k+4=0), determina per quali valori di k, ammette soluzioni reali x1 e x2 tali che  x1 + x2 + (x1^(2)x2) + (x2^(2)x1) = -8   Soluzione: k=7

2) Data la stessa equazione del punto 1), determina per quali valori di k, ammette soluzioni reali x1 e x2 tali che x1^(3)+x2^(3)=40   Soluzione: k=2

3) Reali concordi, reali discordi, reali ed entambe positive.

Se potete spiegarmi tutti i passaggi, grazie mille della vostra disponibilità!

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4

x^2 - 4·x - k + 4 = 0

a = 1

b = -4

c = 4 - k

deve essere innanzitutto:

Δ/4 = (b/2)^2 - a·c ≥ 0

(-2)^2 - (4 - k) ≥ 0-----> k ≥ 0

Chiamo le radici in modo diverso:

α + β + α^2·β + β^2·α = -8

(α + β)·(α·β + 1) = -8

quindi:

(- b/a)·(c/a + 1) = -8

4·((4 - k) + 1) = -8----> 20 - 4·k = -8---> k = 7

--------------------------------------------------------------------------

α^3 + β^3 = 40-----> (α + β)^3 - 3·α·β·(α + β) = 40

(- b/a)^3 - 3·c/a·(- b/a) = 40

4^3 - 3·(4 - k)·4 = 40

12·k + 16 = 40----> k = 2

-----------------------------------------------------------------------

Reali concordi:

{reali: k ≥ 0

{prodotto positivo: 4-k>0----->0 ≤ k < 4

Reali discordi:

4-k<0----->k >4

Entrambe positive

0 ≤ k < 4

(2 variazioni)

@lucianop scusa in questo passaggio hai raccolto? e come? Grazie.

@lucianop  (α + β)^3 - 3·α·β·(α + β) = 40

questo passaggio cosa hai usato? Grazie

@lucianop {prodotto positivo: 4-k>0----->0 ≤ k < 4

In questo passaggio cosa hai applicato? Grazie.

@alby

Per la prima tua domanda vedi ulteriore post.

Per l’ultima vale quanto avevo già scritto in reali e concordi quindi non ho ripetuto.



3

0) Realtà delle radici

Delta = 16 - 4(-k+4) >= 0

16 + 4k - 16 >= 0

k >= 0

1) x1 + x2 + x1x2 (x1 + x2) = - 8

-B/A + C/A*(-B/A) = -8

- B - CB = -8  perché A = 1

B(1 + C) = 8

-4(1 - k + 4) = 8

- k + 5 = -2

k = 5 + 2 = 7   accettabile perché non negativo

 

2) x1^3 + x2^3 = 40

(3ABC - B^3)/A^3 = 40

essendo A = 1

3BC - B^3 = 40

3 (-4) (-k + 4) + 64 = 40

-12 (-k + 4) = -24

- k + 4 = 2

k = 4 - 2 = 2

accettabile perché non negativo

 

Concordi

k >= 0

-k + 4 > 0

 

quindi 0 <= k < 4

Discordi 

k > 4

Entrambe positive : due variazioni quindi C > 0

-k + 4 > 0

0 <= k < 4

 

@eidosm gentilissimo , puoi gentilmente spiegarmi meglio concordi e discordi? Grazie infinite.

Concordi   x1*x2 > 0 => C/A > 0 =>  C > 0  perché A = 1

discordi    x1*x2 < 0 => C/A < 0 =>  C < 0 perché A = 1

sempre intersecato con la condizione di realtà k >= 0



2

(A+B)^3=A^3+3*A^2B+3AB^2+B^3
(A+B)^3-3*A^2B-3AB^2=A^3+B^3
A^3+B^3=(A+B)^3-3AB*(A+B)

———————————————————-



2

* x^2 - 4*x - k + 4 = 0
ha la forma
* x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
dove
* s = 4 = X1 + X2 = somma delle radici
* p = 4 - k = X1 * X2 = prodotto delle radici
* s^2 - 2*p = (X1)^2 + (X2)^2 = somma dei quadrati delle radici
------------------------------
* x^2 - 4*x - k + 4 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - 4 - k + 4 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 = k ≡
≡ x - 2 = ± √k ≡
≡ x = 2 ± √k ≡
≡ (X1 = 2 - √k) oppure (X2 = 2 + √k)
==============================
CONDIZIONI E VINCOLI
Per evitare simboli pluricarattere nomino u = X1, v = X2.
------------------------------
A) "radici reali" ≡ k >= 0
* k = 0 ≡ coincidenti
* k > 0 ≡ distinte
---------------
A1) "tali che x1 + x2 + (x1^(2)x2) + (x2^(2)x1) = -8" ≡
≡ u + v + (u^2)*v + (v^2)*u = - 8 ≡
≡ (u + v)*(u*v + 1) = - 8 ≡
≡ s*(p + 1) = - 8 ≡
≡ 4*(4 - k + 1) = - 8 ≡
≡ k = 7
---------------
A2) "tali che x1^(3)+x2^(3)=40" ≡
≡ u^3 + v^3 = 40 ≡
≡ (u + v)*(u^2 + v^2 - u*v) = 40 ≡
≡ s*(s^2 - 2*p - p) = 40 ≡
≡ s^3 - 3*p*s - 40 = 0 ≡
≡ 4^3 - 3*(4 - k)*4 - 40 = 0 ≡
≡ k = 2
---------------
A3a) "concordi" ≡ (k > 0) & (p > 0) ≡ (k > 0) & (4 - k > 0) ≡ 0 < k < 4
A3b) "discordi" ≡ (k > 0) & (p < 0) ≡ (k > 0) & (4 - k < 0) ≡ k > 4
A3c) "entrambe positive" ≡ (k > 0) & (X1 > 0) ≡ (k > 0) & (2 - √k > 0) ≡ 0 < k < 4

 



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