Equazioni di secondo grado

Fra la tua domanda e le due risposte della studentessaLiceale e di EidosM mi sento stuzzicato, e mo ho da obiettare su voi tutti; non ho intenzione di riprendere nessuno, ma scriverò le obiezioni senza peli sulla lingua ... no, volevo dire sulla tastiera!
------------------------------
@EidosM
Dal prodotto notevole "quadrato di binomio"
* a^2 ± 2*a*b + b^2 = (a ± b)^2
si ricavano tre identità sottraendo membro a membro uno dei termini del primo membro
* ± 2*a*b + b^2 = (a ± b)^2 - a^2
* a^2 + b^2 = (a ± b)^2 ∓ 2*a*b
* a^2 ± 2*a*b = (a ± b)^2 - b^2
e, a mio parere, tutt'e tre meritano il titolo di "completamento del quadrato" e nessuna delle tre merita la qualifica di purupù: si tratta solo del trasporto di un termine da un membro all'altro di un'identità.
------------------------------
@studentessaLiceale
Hai formalmente ragione sulla non necessità però, quando ci si vuole dimostrare superiori, sarebbe raccomandabile badare un pochino alla forma con cui manifestarla tale superiorità: non fare come il presidente Milei!
La tua forma lascia a desiderare: la copula con l'accento sbagliato (c'era un professore che ti faceva perdere una sessione di laurea se la tesi conteneva anche una sola "é" o un solo "perchè" o "poichè".); "trono mio" per trinomio; "(X+5)(X-2)" per (x + 5)*(x - 2) o almeno (x+5)(x-2); "utilizzare" per usare (utilizzare vuol dire usare in modo utile; ma, se dici che non è necessario, come fai a sostenere che sia utile?); "si risolve" per si scompone; ... insomma il non usare il pulsante Anteprima non è il miglior esempio da dare all'inferiore a cui si voglia dare una mano ad elevarsi.
E, soprattutto: la Cicci ti è inferiore solo perché lei è principiante e tu sei esperta; e qui ti muovo un'obiezione nel merito della sua domanda e della tua risposta. Cicci chiede «In base a cosa riscrivo un termine con una somma o una differenza?» cioè sta cercando una regola perché il principiante cerca certezze e si sente sicuro se ha una procedura da applicare pedissequamente, mentre si sconcerta di fronte all'invito a vedere l'ovvietà di ciò che è ovvio solo al colpo d'occhio dell'esperto (come «un semplice trono mio notevole», che è un approccio intuitivo, non procedurale.).
------------------------------
@Cicci
«In base a cosa riscrivo un termine con una somma o una differenza?»
Nell'equazione
* x^2 - s*x + p = 0
forma alla quale si può ridurre ogni equazione razionale intera di grado due conviene «riscrivere un termine con una somma o una differenza» in due casi: se p = r^2 è un quadrato allora si sdoppia il termine "- s*x" in modo da poter scrivere (1 ± r)^2; se s = 2*m è un doppio allora si sdoppia il termine "+ p" in modo da poter scrivere (1 - m)^2.
Ma anche fare così richiede il colpo d'occhio dell'esperto, seppure meno del trinomio notevole.
Invece, se davvero sei la principiante che traspare dalla tua domanda, ti converrebbe dedicare dieci minuti ad imparare la "procedura da applicare pedissequamente" che Bramegupta pubblicò nel VII secolo (1400 anni addietro) e sulla quale si basano sia la formula risolutiva generale che i metodi "a intuito" come quello del trinomio notevole e dello sdoppiare un termine. Te ne mostro i passaggi applicandoli sia alla forma generale
* x^2 - s*x + p = 0 = (x - X1)*(x - X2)
che al tuo esempio
* x^2 + 3*x - 10 = 0 (s = - 3, p = - 10)
---------------
A) Completare il quadrato dei termini variabili (caso a^2 ± 2*a*b = (a ± b)^2 - b^2)
* x^2 - s*x = (x - s/2)^2 - (s/2)^2
* x^2 + 3*x = (x + 3/2)^2 - (3/2)^2
---------------
B) Sostituire; scrivere il termine noto come opposto di un quadrato.
* x^2 - s*x + p = 0 ≡ (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p = 0 ≡ (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0
* x^2 + 3*x - 10 = 0 ≡ (x + 3/2)^2 - (3/2)^2 - 10 = 0 ≡ (x + 3/2)^2 - (7/2)^2 = 0
---------------
C) Sottrarre membro a membro il termine noto.
* (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0 ≡ (x - s/2)^2 = (√(s^2 - 4*p)/2)^2
* (x + 3/2)^2 - (7/2)^2 = 0 ≡ (x + 3/2)^2 = (7/2)^2
---------------
D) Estrarre membro a membro la radice quadrata.
* (x - s/2)^2 = (√(s^2 - 4*p)/2)^2 ≡ x - s/2 = ± √(s^2 - 4*p)/2
* (x + 3/2)^2 = (7/2)^2 ≡ x + 3/2 = ± 7/2
---------------
E) Isolare la variabile.
* x - s/2 = ± √(s^2 - 4*p)/2 ≡ x = s/2 ± √(s^2 - 4*p)/2
* x + 3/2 = ± 7/2 ≡ x = - 3/2 ± 7/2
---------------
F) Distinguere le radici.
* (X1 = s/2 - √(s^2 - 4*p)/2 = (s - √(s^2 - 4*p))/2) oppure (X2 = s/2 + √(s^2 - 4*p)/2 = (s + √(s^2 - 4*p))/2)
e questa è la formula risolutiva generale
* (X1 = - 3/2 - 7/2 = - 5) oppure (X2 = - 3/2 + 7/2 = 2)
e questa è la soluzione dovuta al colpo d'occhio della studentessaLiceale.
---------------
Et de hoc satis.

Immagino che tu voglia eseguire un completamento del quadrato

x^2 + 2 * 3/2 x + q - 10 - q = 0

(x)^2 + 2(3/2) x + (3/2)^2 - 10 - (3/2)^2 = 0

( x + 3/2 )^2 - 49/4 = 0

(x + 3/2)^2 = (7/2)^2

x + 3/2 = +- 7/2

x = -3/2 +- 7/2 =

x1 = -10/2 = -5

x2 == 4/2 = 2

Nota bene.

Tutto questo purupù é molto più impegnativo che scomporre un trinomio caratteristico.

La sua importanza didattica sta nel fatto che consente di capire come é fatta la formula

risolutiva e come ci si può arrivare.

Scusa ma non é un semplice trono mio notevole che si risolve con (X+5)(X-2)? Non é necessario utilizzare il metodo del completamento del quadrato a mio avviso.