[Risolto] Equazioni di grado superiore al secondo, 2 anno, liceo scientifico

(x+4)*(x+6)*(x+15) = 560

x^3+25x^2+174x+360 = 560

X^3+25x^2+174x = 200

1+25+174 = 200  ⇒ x = 1

a = 4+1 = 5

b = 6+1 = 7

c = 15+1 = 16 

check : 15*5*7 = 80*7 = 560 cm^3 QED 

il problema è mal posto. ti fornisce il volume in $dm^3$, ma non ti dice le dimensioni in che unità sono. in particolare il +4, +6 e +15, che unità di misura hanno?

supponiamo che sia tutto in cm, allora il volume è $560 cm^3$.

quindi 

$(x+4)(x+6)(x+15)=560$ 

ovvero

$x^3+25x^2+174x+360=560$

e quindi

$x^3+25x^2+174x-200=0$

Qui si vede chiaramente che $x=1$ è soluzione dell'equazione:

quindi dividi per $x-1$. ti rimane un'equazione di secondo grado che sai risolvere, ma che quasi sicuramente ti verrà con discriminante negativo e quindi l'unica soluzione è $x=1$

fine

La consegna è semplice: «Calcola le sue dimensioni», priva di condizioni restrittive.
"raccoglimento o regola di Ruffini" è una castrante limitazione che ti sei imposta da sola.
In effetti, prima di affrontare la procedura risolutiva generale della fattorizzazione, la via più semplice è di iniziare cercando se fra i divisori naturali di 560 (0.56 dm^3 = 560 cm^3)
* N = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 16, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 80, 112, 140, 280, 560}
ce ne siano tre che, diminuiti di {4, 6, 15}, diano la medesima differenza.
Si calcolano i tre elenchi delle differenze
* N - 4 = {-3, -2, 0, 1, 3, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 31, 36, 52, 66, 76, 108, 136, 276, 556}
* N - 6 = {-5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 10, 14, 22, 29, 34, 50, 64, 74, 106, 134, 274, 554}
* N - 15 = {-14, -13, -11, -10, -8, -7, -5, -1, 1, 5, 13, 20, 25, 41, 55, 65, 97, 125, 265, 545}
e, fra i valori positivi, si vede che "1" compare rispettivamente al quarto, quinto e nono posto; si vede pure che, delle ulteriori differenze, non ce n'è una che compaia in tutt'e tre gli elenchi.
Quindi "le sue dimensioni" sono {5, 7, 16} cm, che è proprio il risultato atteso.
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Se però ci tieni all'autocastrazione continua a leggere.
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* (x + 4)*(x + 6)*(x + 15) = 560 ≡
≡ x^3 + 25*x^2 + 174*x + 360 - 560 = 0 ≡
≡ x^3 + 25*x^2 + 174*x - 200 = 0
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"raccoglimento o regola di Ruffini"
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Il raccoglimento a fattor comune si prova fra gradi pari e gradi dispari
* x^3 + 25*x^2 + 174*x - 200 =
= x^3 + 174*x + 25*x^2 - 200 =
= x*(x^2 + 174) + 25*(x^2 - 8)
e, dal momento che 174 sembra un po' diverso da meno otto, non aiuta a fattorizzare un bel nulla.
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La Regola di Ruffini è utile nella ricerca degli eventuali zeri razionali che, per un polinomio monico con termine noto intero come quello in esame, sono tutti e soli fra i divisori interi del termine noto.
Posto il polinomio nella forma che minimizza le moltiplicazioni
* p(x) = ((x + 25)*x + 174)*x - 200
ed elencati i divisori interi "d" del termine noto
* D = {d} = {-200, -100, -50, -40, -25, -20, -10, -8, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200}
si tratta di valutare in un qualche ordine le coppie
* {d, p(d)}
e, se per una di esse si trova che p(d) = 0, applicare la Regola dividendo p(x) per "x - d" e così ottenere un quoto di grado inferiore.
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In casi con un alto numero di tentativi, come questo, è impensabile di farlo a mano: serve un software di calcolo.
Però questo caso è anche un esercizio scolastico perciò è altrettanto impensabile che sia stato scritto già sapendo di non poterlo risolvere a mano; anzi è vero il viceversa e, per risolverlo a mano, l'ordine in cui fare i tentativi dev'essere per forza a valori assoluti crescenti
* D = {d} = {± 1, ± 2, ..., ± 200}
quindi
* p(- 1) = ((- 1 + 25)*(- 1) + 174)*(- 1) - 200 = - 350
* p(+ 1) = ((1 + 25)*1 + 174)*1 - 200 = 0
trovato uno zero al secondo tentativo si scrive
* p(x) = x^3 + 25*x^2 + 174*x - 200 = (x - 1)*(x^2 + 26*x + 200)
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Resta da scomporre il trinomio quadratico monico, al solito modo
* x^2 + 26*x + 200 = (x + 13)^2 + 31 = (- 13 - i*√31)*(- 13 + i*√31)
e infine di concludere esibendo il risultato richiesto.
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Risposta alla consegna «Calcola le sue dimensioni»
I valori in centimetri delle espressioni {x + 4, x + 6, x + 15}, soggetti al vincolo che il loro prodotto debba valere 560, sono {5, 7, 16} cm, che è proprio il risultato atteso.