Equazioni di Bernoulli.

$ y' = y -8xy^{\frac{1}{3}} $

dividiamo per $ y^{\frac{1}{3}} $

$ \frac{y'}{y^{\frac{1}{3}}} = y^{\frac{2}{3}} - 8x $

Poniamo $ z = y^{\frac{2}{3}} \; ⇒ \; y = \sqrt{z^3} $   inoltre   $ \frac{3}{2} z' = \frac{y'}{y^{\frac{1}{3}}} $    (1)

Procediamo con la sostituzione

$ \frac{3}{2} z' = z -8x $

in forma normale

$ z' - \frac{2}{3} z = -\frac{16}{3} x $

Si tratta di una equazione lineare del 1° ordine a coefficienti costanti. Risolviamo l'omogenea per poi sommarla a una soluzione particolare.

1. Omogenea

$  z' - \frac{2}{3} z = 0 $ dalla quale si ricava la soluzione $ z(x) = ce^{\frac{2x}{3}} $

2. Particolare.

Una soluzione particolare è $ z(x) = 8x+12$. I calcoli sono riportati in fondo pagina.  

3. Soluzione generale dell'equazione in termini di z(x)

$ z(x) = ce^{\frac{2x}{3}} +8x +12 $

4. Soluzione generale dell'equazione in termini di y(x). (dalla (1))

$ y(x) = \sqrt{(ce^{\frac{2x}{3}} +8x+12)^3} $

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Calcoliamo una soluzione particolare per l'equazione

$ z' - \frac{2}{3} z = -\frac{16}{3} x $ (2)

La soluzione cercata sarà un polinomio della forma $\bar{z}(x) = ax+b $, con a,b variabili reali

$\bar{z}'(x) = a $

Sostituendole nella (2)

$a - \frac{2}{3}(ax+b) = -\frac{16}{3} x $

dal principio di identità dei polinomi segue che

1. a = 8
2. b = 12

per cui 

$\bar{z}(x) = 8x+12 $