Equazioni di Bernoulli.

Problema:

Si risolva la seguente equazione differenziale di Bernoulli:

$y'=\frac{2y}{x}+8x²\sqrt{y}$

Soluzione:

Come al solito l'obiettivo è ricondursi ad una tipologia di equazione differenziale nota, dunque converrebbe separare quanto possibile le $x$ e le $y$ anche grazie a delle sostituzioni.

Si nota subito ad occhio, basta sostituire, che $y=0$ è soluzione.

Per trovare le altre soluzioni è conveniente raccogliere $\sqrt{y}$.

$y'=\sqrt{y}(\frac{2\sqrt{y}}{x}+8x²)$

Suppendo $y \neq 0$

$\frac{y'}{\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{y}}{x}+8x²$

Ci si può dunque ricondurre ad una equazione lineare grazie alla sostituzione $z=\sqrt{y}, z²=y \to y'=2zz'$.

L'equazione è ora:

$\frac{2zz'}{z}=\frac{2z}{x}+8x²$

$z'-\frac{z}{x}-4x²=0$, questa è una equazione differenziale lineare, si può utilizzare un trucco molto figo dividendo tutto per $x$:

$\frac{1}{x}z'-\frac{z}{x²}=4x$

La prima parte altro non è che la derivata di $\frac{z}{x}$.

$\frac{d}{dx}(\frac{z}{x})=4x$

$\int \frac{d}{dx}(\frac{z}{x})= \int 4x$

$\frac{z}{x}=2x²+c$

$z=2x³+cx$

Sostituendo di nuovo si ha

$\sqrt{y}=2x³+cx$.

Dunque le soluzioni sono:

$y=(2x³+cx)², y=0$