Spiegare gentilmente i ragionamenti e i passaggi, argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti e i passaggi, argomentare.
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Livello 2
$ y' = xy+\frac{2x}{y}$
Moltiplichiamo per y
$ yy' = xy^2 + 2x $
Poniamo $ z = y^2 \; ⇒ \; z' = 2yy' \; ⇒ \; yy' = \frac{z'}{2} $
La trasformata risulta
$ \frac{z'}{2} = xz+2x$
$ z' = 2xz+4x $
Quest'ultima è una equazione lineare del 1° ordine a coefficienti variabili. Calcoliamo la soluzione con l'uso del fattore integrante.
$ A(x) = -\int 2x \, dx = -x^2 $
Applichiamola alla forma che ipotizziamo nota
$ z(x) = c \, e^{x^2} + e^{x^2} \int e^{-x^2} \cdot 4x \, dx $
$ z(x) = c \, e^{x^2} + e^{x^2}(-2 \cdot e^{-x^2}) $
$ z(x) = c \, e^{x^2} -2 $
Possiamo così dedurre la funzione y(x)
$ y(x) = \pm \sqrt{z} = \pm \sqrt{c \, e^{x^2} -2} $
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Livello 6