Considerare la parabola di equazione y=x^2 +kx +4 e determinare per quali valori di k esse sono tangenti all'asse delle ascisse. Scrivi le equazioni delle parabole corrispondenti ai valori trovati e calcola l'area della parte di piano individuata dalle tangenti ad esse nel punti di ascissa 0 e dall'asse x.
RISULTATI
valori di K + - 4
Area 4
1
punto
Livello 0
Le intersezioni della parabola con l'asse delle ascisse (y=0) sono date dalle soluzioni dell'equazione parametrica:
x^2 + k*x +4 = 0
la condizione di tangenza è che le radici siano coincidenti, ovvero:
delta = 0
b² - 4 * a * c = 0
k² - 4 * 1 *4 = 0
k² = 16
k = +/- 4 (come da risultati)
le due parabole sono, quindi:
y = x² + 4x + 4
y = x² - 4x + 4
L'intersezione con l'asse delle ordinate, dato che non dipende dal parametro, è uguale per tutte e due le funzioni e vale:
P = (0, 4)
Usiamo la prima.
La condizione di tangenza è che l'intersezione fra la retta e la parabola siano due punti coincidenti; ovvero che il sistema:
y = x² + 4x + 4
y-4 = m(x-0)
abbia due soluzioni coincidenti; risolviamo:
y = mx + 4
mx + 4 = x² + 4x + 4
x² + (4-m)x = 0
impongo la condizione di tangenza:
delta = 0
b² - 4 * a * c = 0
(4-m)² - 4*1*0 = 0
(4-m)² = 0
4-m = 0
m = 4
la retta tangente è quindi:
y = 4x +4
ed il punto di intersezione con l'asse delle ascisse è:
y = 4x +4 = 0 => x = -1
A = (-1; 0)
Usando, invece, la seconda otteniamo:
y = x² - 4x + 4
y-4 = m(x-0)
y = mx + 4
mx + 4 = x² - 4x + 4
x² + (4+m)x = 0
(4+m)² - 4*1*0 = 0
(4+m)² = 0
4+m = 0
m = -4
la retta tangente è quindi:
y = -4x +4
ed il punto di intersezione con l'asse delle ascisse è:
y = -4x +4 = 0 => x = +1
B = (1; 0)
Il triangolo ABP == (-1;0)(1;0)(0;4) ha base AB=2 ed altezza 4, per cui:
area = (AB*h)/2 = 2*4/2 = 4 (torna con i risultati).
1119
punti
Livello 2
