Scrivi le equazioni delle circonferenze $\gamma_{1}$ e $\bar{\gamma}_{2}$ in figura, sapendo che sono tangenti nel punto $A$ e che $\gamma_{2}$ ha raggio $\frac{5}{2} .$ Determina le coordinate del punto $D$ e calcola l'area della zona colorata.
$$
\left[\gamma_{1}: x^{2}+y^{2}=25 ; \gamma_{2}: x^{2}+y^{2}-9 x-12 y+50=0 ; 35-\frac{25}{4} \pi\right]
$$
302
punti
Livello 1
T1 = circonferenza di centro O e raggio r=5.
x² + y² = 25
Il punto A di ascissa x=3 appartiene a T1 ed ha ordinata y=4
Il segmento AD diametro della seconda circonferenza T2 risulta essere 2r = 2*5/2 = 5
Il punto D risulta essere sulla retta OA di coefficiente angolare 4/3.
Il punto A risulta di coordinate (3,4). Il punto D risulta quindi di coordinate (6,8).
Quindi A(3,4) e D(6,8).
Il centro della circonferenza T2 risulta essere O'
O'=((3+6)/2 ; (4+8)/2) = (9/2 , 6)
In quanto O' punto medio del segmento AD
L'equazione di T2 è quindi
(x-(9/2))² + (y-6)² = 25/4
x² + y² - 9x - 12y + 50=0
L'area della parte colorata risulta essere la differenza tra l'area del triangolo BCD e l'area sottesa dall'arco BC.
AREA ARCO BC = (25/4) PI - 25/2
dove
(25/4)*PI = 1/4 area cerchio raggio 5
25/2 = area triangolo rettangolo OBC
Passiamo a calcolare l'area del triangolo BCD
La base BC=5 * radice (2)
Il punto H, piede della perpendicolare condotta da D alla base BC risulta essere l'intersezione tra la retta
{y = - x + 5 retta contenente la base
E la retta perpendicolare a quest'ultima (coefficiente angolare 1) e passante per D(6,8) quindi
{y - 8 = x - 6
Mettendo a sistema si ottiene
{y= - x+5
{y= x+2
Quindi
H=(3/2 ; 7/2)
A questo punto troviamo DH e l'area del triangolo BCD.
Il risultato finale è l'area del triangolo BCD - (AREA ARCO BC = (25/4) PI - 25/2)
77016
punti
Genius II
