[Risolto] Equazioni asintoti

Allora, partiamo dal dominio: la funzione non è definita per $x=2$ e $x=-2$, che sono i valori per i quali il denominatore si annulla. Questi valori sono gli indiziati per gli asintoti verticali.

$\lim_{x\to 2^+} f(x) = 31/0^+ =+ \infty$

$\lim_{x\to 2^-} f(x) = 31/0^- =- \infty$

$\lim_{x\to -2^+} f(x) = -33/0^- =+ \infty$

$\lim_{x\to -2^-} f(x) = -33/0^+ =- \infty$

Per quanto riguarda la ricerca di eventuali asintoti orizzontali devi vedere come si comporta la funzione a $+ \infty$ e a $- \infty$

$\lim_{x\to + \infty} f(x) = + \infty$

$\lim_{x\to - \infty} f(x) = - \infty$

tali limiti si calcolano facilmente, essendo sia numeratore che denominatore polinomiali e quindi valgono soltanto i gradi massimi: pertanto è come se fosse $4x^3/x^2=4x$.

Essenso entrambi i limiti $\infty$ si conclude che non esistono asintoti orizzontali. Ma si deve a questo punto ricercare gli asintoti obliqui.

Per fare questo devi calcolare i limiti a $+ \infty$ e a $- \infty$ di $f(x)/x)$. Se tale limite è finito ti fornisce il coefficiente angolare della retta che rappresenta il tuo asintoto obliquo

$\lim_{x\to + \infty} f(x)/x = 4$

$\lim_{x\to - \infty} f(x)/x = 4$

Quindi adesso sai che hai aisntoti obliqui, dei quali conosci il coefficiente angolare, ma ti manca il termine noto (la rette deve essere $y=mx+q$, manca da trovare $q$). Per farlo devi calcolare:

$\lim_{x\to + \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x\to + \infty} (\frac{4x^3-1}{x^2-4}-4x)=0$

$\lim_{x\to - \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x\to - \infty} (\frac{4x^3-1}{x^2-4}-4x)=0$

Quindi l'asintoto obliquo è unico e vale $y=4x$

Fine. Qui sotto quanto calcolato graficato con geogebra:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptotes+y%3D4x%5E3-1%2Fx%5E2-4