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Equazioni

  

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Due numeri sono tali che uno supera di due l'altro. La differenza tra il quadrato del reciproco del numero minore e il quadrato del reciproco del numero maggiore è 24 volte il quadrato del reciproco del prodotto tra i due numeri.Quali sono i due numeri?

P.s. risultato [5;7]

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Assegnare la differenza vuol dire che il problema ha la sola incognita del numero minore (x, p.es.) perché poi alla fine il maggiore (x + 2) lo si determina subito.
Sgombrando dalla vista gli arabeschi verbali la relazione risolutiva si scrive come
* 1/x^2 - 1/(x + 2)^2 = 24/(x*(x + 2))^2 ≡
≡ 1/x^2 - 1/(x + 2)^2 - 24/(x*(x + 2))^2 = 0 ≡
≡ ((x + 2)^2 - x^2 - 24)/(x*(x + 2))^2 = 0 ≡
≡ 4*(x - 5)/(x*(x + 2))^2 = 0 ≡
≡ x = 5
da cui
* x + 2 = 7

@exprof 👍👍




2

Poni i due numeri come segue:

numero minore = $x$;

numero maggiore = $x+2$;

equazione:

$\big(\frac{1}{x}\big)^2-\big(\frac{1}{x+2}\big)^2 = 24\big(\frac{1}{x(x+2)}\big)^2$

nelle potenze con base frazionaria si eleva all'esponente sia il numeratore che il denominatore, quindi:

$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{ \big(x+2 \big)^2} = 24×\frac{1}{\big(x\big(x+2\big)\big)^2}$

sviluppa il quadrato di binomio a sinistra e opera a destra come segue:

$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+4x+4} = 24×\frac{1}{(x^2+2x)^2}$

sviluppa il quadrato di binomio a destra:

$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+4x+4} = 24×\frac{1}{x^4+4x^3+4x^2}$

fai il raccoglimento totale del denominatore a destra:

$x^4+4x^3+4x^2 = x^2(x^2+4x+4)$ che in pratica è il minimo comune multiplo dei denominatori dell'equazione, ritorniamo all'equazione:

$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+4x+4} = 24×\frac{1}{x^2(x^2+4x+4)}$

moltiplica tutto per il mcm così si eliminano i denominatori:

$x^2+4x+4 -x^2 = 24$

i due $x^2$ si annullano per il segno opposto:

$4x+4 = 24$

$4x = 24-4$

$4x = 20$

dividi ambo le parti per 4:

$x = \frac{20}{4}$

$x= 5$

risultati:

numero minore = $x= 5$;

numero maggiore = $x+2 = 5+2 = 7$.

 

@gramor 👍👍

@remanzini_rinaldo - Grazie mille, molto gentile.

Risposta



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