[Risolto] Equazione parametrica geometria analitica

Classificare vuol dire "trovare il tipo di conica al variare di k", spero!
Se è così vale la seguente distinzione di casi.
k < - 1: iperbole con fuochi sull'asse y.
k = - 1: iperbole degenere sui suoi asintoti (y = ± x/√2).
- 1 < k < 0: iperbole con fuochi sull'asse x.
k = 0: parabola degenere su due parallele coincidenti (l'asse x).
0 < k < 1/2: ellisse con fuochi sull'asse x.
k = 1/2: circonferenza.
1/2 < k < 1: ellisse con fuochi sull'asse y.
k > 1: iperbole con fuochi sull'asse x.
==============================
DETTAGLI
------------------------------
L'equazione
* "kx^2+(1-k)y^2=k^2+k" ≡
≡ p(x, y) = k*x^2 + (1 - k)*y^2 - (k^2 + k) = 0
avendo parametrici tutt'e tre i coefficienti presenta tre casi particolari.
A) k = - 1: p(x, y) = 2*y^2 - x^2 = 0 è l'iperbole degenere sui suoi asintoti (y = ± x/√2).
B) k = 0: p(x, y) = y^2 = 0 è la parabola degenere su due parallele coincidenti (l'asse x).
C) k = 1: p(x, y) = x^2 - 2 = 0 è la parabola degenere su due parallele distinte (x = ± √2).
---------------
Per k ∉ {- 1, 0, 1}
* ∇p(x, y) = (2*k*x, 2*(1 - k)*y) = (0, 0) ≡
≡ (x, y) = (0, 0) oppure (k, x, y) = (0, indefinito, 0) oppure (k, x, y) = (1, 0, impossibile) ≡
≡ (x, y) = (0, 0)
Quindi:
1) poiché per ogni k si può annullare il gradiente, p(x, y) = 0 non può rappresentare parabole non degeneri;
2) poiché fra i tre zeri del gradiente solo (0, 0) dà un punto reale, p(x, y) = 0 può rappresentare solo coniche centrate nell'origine sempreché i valori di k lo consentano.
---------------
Per k ∉ {- 1, 0, 1}
* k*x^2 + (1 - k)*y^2 = (k^2 + k) ≡
≡ x^2/(k + 1) + y^2/((k^2 + k)/(1 - k)) = 1
e il tipo di conica dipende dai segni dei denominatori.
------------------------------
0) (k + 1 < 0) & ((k^2 + k)/(1 - k) < 0) ≡ impossibile: nessuna conica.
1) (k + 1 < 0) & ((k^2 + k)/(1 - k) > 0) ≡ k < - 1: iperbole con fuochi sull'asse y.
2) (k + 1 > 0) & ((k^2 + k)/(1 - k) < 0) ≡ (- 1 < k < 0) oppure (k > 1): iperbole con fuochi sull'asse x.
3) (k + 1 > 0) & ((k^2 + k)/(1 - k) > 0) ≡ 0 < k < 1: ellisse.
3a) k + 1 > (k^2 + k)/(1 - k) > 0 ≡ 0 < k < 1/2: ellisse con fuochi sull'asse x.
3b) 0 < k + 1 = (k^2 + k)/(1 - k) ≡ k = 1/2: circonferenza.
3c) 0 < k + 1 < (k^2 + k)/(1 - k) ≡ 1/2 < k < 1: ellisse con fuochi sull'asse y.