Buona serata a tutti ; allego 2 files ; il primo contiene il testo dell'equazione logaritmica n. 586 e il secondo i passaggi da me eseguiti nel tentativo di risolverla. Vi chiedo gentilmente come sempre la sua soluzione, ma, se possibile, anche di farmi notare gli errori che commetto nel suo svolgimento. Le soluzioni sono : x = 1/4 oppure x = 1 oppure x = 16. Grazie come ormai d'abitudine.
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Livello 1
Insieme di definizione in R: x>0
Ciao Beppe,
L'errore è nel secondo addendo.
[log(2,x²)] = [2*log(2,x)]² = 4 log²x
L'equazione è quindi:
log³(2,x) - (1/2)*4*log²x - 4*2*log(2,x) = 0
Ponendo: log(2,x) = t si ricava l'equazione risolutiva in t:
t³ - 2t² - 8t = 0
t* (t² - 2t - 8) = 0
t* (t - 4)(t+2) = 0
Da cui si ricavano le soluzioni:
t=0
t=4
t= - 2
Quindi:
log(2,t) = 0 => x=2^(0) = 1
log(2,t) = 4 => x=2^(4) = 16
log(2,t) = - 2 ==> x=2^ (-2) = 1/4
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Genius II
Posto come al solito x > 0 per la condizione di esistenza
le proprietà dei logaritmi ci portano a dire che
log_2 x^2 = 2 log_2 x
per cui
(log_2 x)^3 - 1/2 * (2 log_2 x)^2 - 4 * 2 log_2 x = 0
log_2 x = t
t^3 - 1/2 * 4 t^2 - 8 t = 0
t(t^2 - 2t - 8) = 0
t (t^2 - 4t + 2t - 8) = 0
t [ t(t - 4) + 2(t - 4) ] = 0
t(t - 4)(t + 2) = 0
Essendo t = log_2 x => x = 2^t
t = 0 => x = 2^t = 2^0 = 1
t = 4 => x = 2^t = 2^4 = 16
t = -2 => x = 2^t = 2^(-2) = 1/4
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Livello 7
