Buongiorno a tutti voi; allego l'equazione logaritmica n.606 che non riesco a risolvere se non il cambio delle basi da 1/2, 4 a 2 dei logaritmi. Ho provato ad elevare al quadrato ambo i membri, ma i calcoli che si presentano sono lunghi e in alcuni casi di difficile soluzione. Pertanto, chiederei, come sempre a chi vorrà ancora una volta aiutarmi di mostrare i singoli passaggi. Grazie per il vostro costante ausilio. Le soluzioni sono x= 1 oppure x= 8.
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Livello 1
L'equazione 606 è quella che inizia con sqrt 3 + log1/2, x ecc...
Insieme di definizione in R:
{x > 0
{x > 1/8
{x <= 8
Quindi: 1/8 < x <= 8
Ultimo passaggio:
2*log(2, x) * [log(2,x) - 3] = 0
Quindi legge di annullamento del prodotto:
log(2,x)=0 => x= 2^0 = 1
log(2,x)=3 => x = 2^3 = 8
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Genius II
Ciao di nuovo
Ma vuoi svolgere tutto il testo?
Ormai mi conosci che preferisco portare i logaritmi tutti alla stessa base.
Quindi l'equazione data è equivalente a scrivere:
√(3 - LN(x)/LN(2)) + √(3 + LN(x)/LN(2)) = 6/√(3 + LN(x)/LN(2))
poi pongo
LN(x)/LN(2) = t
√(3 - t) + √(3 + t) = 6/√(3 + t)
posto: 3 + t > 0 e quindi t > -3
√(t + 3)·(√(3 - t) + √(t + 3)) = 6
√((3 - t)·(t + 3)) + t + 3 = 6
√(9 - t^2) = 3 - t
elevo al quadrato:
9 - t^2 = (t - 3)^2----> 9 - t^2 = t^2 - 6·t + 9----> 2·t^2 - 6·t = 0
2·t·(t - 3) = 0-----> t = 3 ∨ t = 0
(nessuna delle due è estranea alla equazione di partenza)
LN(x)/LN(2) = 3------> x = 8
LN(x)/LN(2) = 0------> x = 1
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Genius III
L'equazione
606) √(3 + log(1/2, x)) + √(3 + log(2, x^2) + log(1/2, x)) = 6/√(3 + 2*log(4, x))
è indefinita solo in x = 0 e in
* 3 + 2*log(4, x) = 0 ≡ x = 1/8
mentre altrove, con
* log(1/2, x) = - log(2, x)
* log(2, x^2) = 2*log(2, x)
* 2*log(4, x) = log(2, x)
* u = log(2, x)
si ha
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606) √(3 + log(1/2, x)) + √(3 + log(2, x^2) + log(1/2, x)) = 6/√(3 + 2*log(4, x)) ≡
≡ √(3 - log(2, x)) + √(3 + 2*log(2, x) - log(2, x)) - 6/√(3 + log(2, x)) = 0 ≡
≡ √(3 - u) + √(3 + u) - 6/√(3 + u) = 0 ≡
≡ √(3^2 - u^2) + (3 + u) - 6 = 0 ≡
≡ √(3^2 - u^2) = 3 - u ≡
≡ (3^2 - u^2) = (3 - u)^2 ≡ (ACHTUNG: quadratura!)
≡ (3 - u)^2 - (3^2 - u^2) = 0 ≡
≡ 2*u*(u - 3) = 0 ≡
≡ (u = 0) oppure (u = 3) ≡
≡ (log(2, x) = 0) oppure (log(2, x) = 3) ≡
≡ (x = 1) oppure (x = 8)
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VERIFICA anti spurie da quadratura
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√(3 - log(2, 1)) + √(3 + 2*log(2, 1) - log(2, 1)) - 6/√(3 + log(2, 1)) =
= √(3 - 0) + √(3 + 2*0 - 0) - 6/√(3 + 0) =
= √3 + √3 - 6/√3 = 0
Ok
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√(3 - log(2, 8)) + √(3 + 2*log(2, 8) - log(2, 8)) - 6/√(3 + log(2, 8)) =
= √(3 - 3) + √(3 + 2*3 - 3) - 6/√(3 + 3) =
= 0 + √6 - 6/√6 = 0
Ok
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Genius I
