[Risolto] Equazione Logaritmica

Io ho più di 84 anni, ce la faccio a rientrare nel "Buongiorno ragazzi"?
Boh, rispondo comunque.
Se ce l'hai coi vecchi perché i tuoi nonni t'hanno maltrattato, non leggere.
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Le funzioni
* log(base, argomento)
sono definite se e solo se (argomento != 0) & (base != 0) & (base != 1).
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Con la notazione abbreviata
* ln(a) = log(e, a)
si ha l'eguaglianza del cambio di base
* log(b, a) = ln(a)/ln(b)
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Se una funzione logaritmo compare in una disequazione con diseguaglianza d'ordine allora occorre che abbia valore reale e la condizione d'essere definita reale è più stringente
* (argomento > 0) & (base > 0) & (base != 1).
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L'equazione che ti lascia perplesso
* 1 + log(2, x + 1)/log(2, x) = 1/log(2, x)
è definita se e solo se lo sono i logaritmi e nessun denominatore è zero; cioè, dato che la base due va bene, se e solo se
* (x != 0) & (x + 1 != 0) & (log(2, x) != 0) ≡
≡ (x != 0) & (x != - 1) & (2^log(2, x) != 2^0) ≡
≡ (x != 0) & (x != - 1) & (x != 1) ≡
≡ x ∉ {- 1, 0, 1}
questa condizione restrittiva si deve intersecare alla fine coi risultati ottenuti per ottenere le radici accettabili.
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* 1 + log(2, x + 1)/log(2, x) = 1/log(2, x) ≡
≡ log(2, x) + log(2, x + 1) = 1 ≡
≡ log(2, x*(x + 1)) = 1 ≡
≡ 2^log(2, x*(x + 1)) = 2^1 ≡
≡ x*(x + 1) = 2 ≡
≡ (x = - 2) oppure (x = 1)
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* ((x = - 2) oppure (x = 1)) & (x ∉ {- 1, 0, 1}) ≡
≡ (x = - 2) & (x ∉ {- 1, 0, 1}) oppure (x = 1) & (x ∉ {- 1, 0, 1}) ≡
≡ (x = - 2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ x = - 2
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Per x = - 2 si ha
* 1 + log(2, - 2 + 1)/log(2, - 2) = 1/log(2, - 2) ≡
≡ 1 + log(2, - 1)/log(2, - 2) = 1/log(2, - 2) ≡
≡ log(2, - 2) + log(2, - 1) = 1 ≡
≡ log(2, (- 2)*(- 1)) = 1 ≡
≡ log(2, 2) = 1 ≡ VERO
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CONCLUSIONE: l'equazione non è affatto impossibile perché ammette la radice semplice reale x = - 2; probabilmente l'ERRORE DEL LIBRO è consistito nell'adottare per un'equazione la condizione d'esistenza pertinente alle disequazioni con diseguaglianza d'ordine, cioè nel negare che in una manipolazione puramente simbolica ci possano essere anche risultati, intermedî e/o finali, non reali.
Ovviamente tale negazione è un'assurdità didattica e storica: l'Algebra è nata (e s'è sviluppata per secoli) proprio per dare ordine formale alle manipolazioni simboliche.

Ti sei dimenticato che puoi riportare l'equazione fratta alla forma intera tenendo conto che:

LOG(2,x) ≠ 0-----> x ≠ 1

L'equazione è impossibile perché le soluzioni che ho trovato sono incompatibili con quanto detto per il C.E.