[Risolto] Equazione lineare non omogenea del secondo ordine

Non puoi procedere direttamente con il metodo di somiglianza in questo modo, perché il coseno è al quadrato.

Puoi procedere in due modi. Se conosci solo il metodo di somiglianza puoi fare così:

1) Usi le formule di duplicazione: sapendo che $cos(2x) = 2cos^2x -1$, puoi scrivere:

$ 6cos^2x = 6\frac{cos(2x)+1}{2} = 3 cos(2x) + 3$

A questo punto il termine noto è:

$ g(x)= 4sinx + 3cos(2x)+3$

Poiché l'argomento di seno e coseno è differente, hai bisogno di considerare tre equazioni differenziali differenti:

$ y^{\"}+y' = 4sinx$

$ y^{\"}+y' = 3cos2x$

$ y^{\"}+y' = 3$

per ognuna di essere procedi per somiglianza.

La soluzione dell'equazione differenziale sarà la somma della soluzione dell'eq. omogenea e delle soluzioni particolari di queste tre.

2) Usi il metodo della variazione delle costanti arbitrarie (che in questo caso è preferibile e che trovi qui nel dettaglio https://www.youmath.it/lezioni/analisi-due/equazioni-differenziali/645-metodo-del-wronskiano-per-equazioni-non-omogenee-del-secondo-ordine.html).

Hai già trovato le due soluzioni indipendenti, per cui possiamo risolvere il sistema:

{$c_1' + c_2' e^{-x} = 0$

{$- c_2' e^{-x} = 4sinx + 6cos^2x$

che si risolve subito come:

{$c_1' = 4sinx + 6cos^2x $

{$c_2' = \frac{4sinx + 6cos^2x}{-e^-x}$

Integri per trovare le due costanti e hai finito 🙂

 

Noemi

 

 

 

 

Qui devi usare più metodi combinati

L'omogenea associata y'' + y = 0

ha come integrale generale   C1 cos x + C2 sin x

L'integrale particolare può essere per linearità trovato scindendo il termine noto

in 4 sin x e 6 * (1 + cos 2x)/2 = 3 + 3 cos 2x

e questo a sua volta in 3 e 3 cos 2x

 

 

Cominciamo con 3

y'' + y = 3 ha come integrale particolare y = 3

y'' + y = 3 cos 2x

puoi integrarla o cercando una soluzione come A cos 2x + B sin 2x

o più rapidamemente ricorrendo al metodo simbolico (fasori) dell'elettrotecnica

(j2)^2 Y + Y = 3 avendo preso come riferimento il coseno e w = 2

Y ( 1 - 4 ) = 3

Y = -1 =>   yp = - cos 2x

 

y'' + y = 4 sin x é più delicata perché sin x sta già nell'integrale generale dell'omogenea

associata  

Cerchi pertanto yp come A x sin x + B x cos x

Calcolando l'operatore y'' + y e imponendo che sia identicamente uguale a 4 sin x

 

y' = A sin x + Ax cos x + B cos x - Bx sin x

 

y'' + y = A cos x + A cos x - Ax sin x - B sin x - B sin x - Bx cos x

+ Ax sin x + B x cos x = 4 sin x

 

2 A cos x - 2 B sin x = 4 sin x

2A = 0

-2B = 4

A = 0 e B = -2    => yp = - 2 x cos x

 

Infine, componendo per somma,

y(x) = C1 cos x + C2 sin x + 3 - cos 2x - 2x cos x

esattamente come dice Wolfram

* y'' + y = 4*sin(x) + 6*cos^2(x) ≡
≡ y'' + y = 2*(10 - (3*sin(x) - 1)^2)/3
-----------------------------
* y'' + y = 0 ≡ y(x) = a*sin(x) + b*cos(x)
-----------------------------
* d/dx a*sin(x) = + a*cos(x)
* d/dx b*cos(x) = - b*sin(x)
* d/dx U = u
* d/dx V = v
---------------
* (u*a*sin(x) + v*b*cos(x) = 0) & (u*a*cos(x) - v*b*sin(x) = 2*(10 - (3*sin(x) - 1)^2)/3) ≡
≡ (v = - (a*u/b)*tg(x)) & (u*a*cos(x) - (- (a*u/b)*tg(x))*b*sin(x) = 2*(10 - (3*sin(x) - 1)^2)/3) ≡
≡ (v = - (a*u/b)*tg(x)) & (u = (3*cos(3*x) + 4*sin(2*x) + 9*cos(x))/(2*a)) ≡
≡ (v = - (a*((3*cos(3*x) + 4*sin(2*x) + 9*cos(x))/(2*a))/b)*tg(x)) & (u = (3*cos(3*x) + 4*sin(2*x) + 9*cos(x))/(2*a)) ≡
≡ (u = (3*cos(3*x) + 4*sin(2*x) + 9*cos(x))/(2*a)) & (v = - (3*sin(3*x) - 4*cos(2*x) + 3*sin(x) + 4)/(2*b))
---------------
* U = ∫ u*dx = ∫ ((3*cos(3*x) + 4*sin(2*x) + 9*cos(x))/(2*a))*dx =
= (sin(3*x) - 2*cos(2*x) + 9*sin(x))/(2*a) + c
--------
* V = ∫ v*dx = ∫ (- (3*sin(3*x) - 4*cos(2*x) + 3*sin(x) + 4)/(2*b))*dx =
= (cos(3*x) + 2*sin(2*x) + 3*cos(x) - 4*x)/(2*b) + c
---------------
* f(x) = U*a*sin(x) + V*b*cos(x) =
= ((sin(3*x) - 2*cos(2*x) + 9*sin(x))/(2*a))*a*sin(x) + ((cos(3*x) + 2*sin(2*x) + 3*cos(x) - 4*x)/(2*b))*b*cos(x) =
= sin(x) - cos(2*x) - 2*x*cos(x) + 3
--------
* f''(x) = 4*cos(2*x) + 2*x*cos(x) + 3*sin(x)
--------
* f''(x) + f(x) = 4*cos(2*x) + 2*x*cos(x) + 3*sin(x) + sin(x) - cos(2*x) - 2*x*cos(x) + 3 =
= 3*cos(2*x) + 4*sin(x) + 3
--------
* 3*cos(2*x) + 4*sin(x) + 3 = 4*sin(x) + 6*cos^2(x) ≡
≡ VERO ≡
≡ f(x) è la soluzione particolare!