[Risolto] Equazione iperbole

RIPASSI UTILI PER IL TEST DI VENERDI'
La traslazione (0, 0) → (u, v), traslando senza ruotare, comporta le sostituzioni
* x → (x - u)
* y → (y - v)
L'iperbole con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati, semiassi (a, b) e centro C(u, v) ha equazione
* ((x - u)/a)^2 - ((y - v)/b)^2 = ± 1
dove il doppio segno è "+" se i fuochi sono sull'asse parallelo all'asse x, "-" se sono sull'altro asse.
L'iperbole è equilatera se e solo se gli asintoti sono ortogonali.
Gli asintoti s'incrociano nel centro e gli assi di simmetria sono le loro bisettrici.
La condizione di tangenza impone il vincolo che i punti comuni siano reali e coincidenti.
Le coordinate del punto di passaggio verificano l'equazione.
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A) Problema #1
A1) iperbole equilatera
A2) asintoti x = 2 e y = 1
A3) tangente la bisettrice y = - x dei quadranti pari
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Gli asintoti x = 2 e y = 1 s'intersecano in C(2, 1) e le loro bisettrici sono
* y = 1 ± (x - 2)
Se il centro fosse nell'origine l'equazione sarebbe x*y = k con asintoti gli assi coordinati; traslando senza ruotare (0, 0) → (2, 1) si ha
* (x - 2)*(y - 1) = k
La condizione di tangenza impone il vincolo che il sistema
* (y = - x) & ((x - 2)*(y - 1) = k)
con risultante
* (x - 2)*(- x - 1) - k = 0 ≡ x^2 - x + k - 2 = 0
e discriminante
* Δ(k) = 9 - 4*k
abbia
* Δ(k) = 9 - 4*k = 0 ≡ k = 9/4
da cui
* (x - 2)*(y - 1) = 9/4
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-x%2C%28x-2%29*%28y-1%29%3D9%2F4%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9
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B) Problema #2
B1) centro C(- 1, 1)
B2) assi di simmetria paralleli agli assi coordinati
B3a) passaggio per P(0, 2)
B3b) tangente in P la retta x - 2*y + 4 = 0 ≡ y = x/2 + 2
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I dati B1 e B2 implicano equazione di forma
* Γ ≡ ((x + 1)/a)^2 - ((y - 1)/b)^2 = ± 1
con
* (a > 0) & (b > 0)
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Il dato B3a implica
* ((0 + 1)/a)^2 - ((2 - 1)/b)^2 = ± 1 ≡
≡ (b^2 - a^2)/(a*b)^2 = ± 1 ≡
≡ (b^2 - a^2 = - (a*b)^2) oppure (b^2 - a^2 = + (a*b)^2) ≡
≡ (b = a/√(1 + a^2)) oppure (b = a/√(1 - a^2))
da cui
* Γ1 ≡ ((x + 1)/a)^2 - ((y - 1)/(a/√(1 + a^2)))^2 = - 1 ≡
≡ x^2 - (a^2 + 1)*y^2 + 2*x + 2*(a^2 + 1)*y = 0
oppure
* Γ2 ≡ ((x + 1)/a)^2 - ((y - 1)/(a/√(1 - a^2)))^2 = + 1 ≡
≡ x^2 + (a^2 - 1)*y^2 + 2*x - 2*(a^2 - 1)*y = 0
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La procedura per la tangenza è identica al #1, ma qui devi farla due volte.