Equazione goniometrica tangente

Scomponendo

tg^2(x) - rad(3) tg x + tg x - rad(3) = 0

tg x ( tg x - rad(3) ) + (tg x - rad(3) ) = 0

(tg x + 1) ( tg x - rad(3)) = 0

si spezza in

tg x = -1 => x = - pi/4 + k pi

tg x = rad(3) => x = pi/3 + k pi

k in Z

TAN(x) = t

t^2 - (√3 - 1)·t - √3 = 0

Δ = (√3 - 1)^2 + 4·√3

Δ = 2·√3 + 4----> √Δ = √(2·√3 + 4) = √3 + 1

(formula radicale doppio)

Radici equazione:

t1= (√3 - 1 - (√3 + 1))/2---> t1 = -1

t2 = (√3 - 1 + (√3 + 1))/2---> t2 = √3

TAN(x) = -1---> x = 3·pi/4 + k·pi

TAN(x) = √3---> x = pi/3 + k·pi

$  tan^2(x) -(\sqrt{3} - 1) tan(x) - \sqrt{3} = 0 $

Trasformiamo l'equazione goniometrica in equazione di secondo grado algebrica. Dopo averla risolta ritrasformiamo i risoltati in enti goniometrici.

Poniamo t = tan(x)

1.  $  t^2 -(\sqrt{3} - 1) t - \sqrt{3} = 0 $
2. Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:
   1. t = -1 
   2. t = √3
3. Ritorniamo agli enti originari
   1. tan(x) = -1  ⇒  x = -π/4 + kπ
   2. tan(x) = √3  ⇒  x = π/3 + kπ

con   $ k\in\mathbb{Z} $