Ho un problema di trigonometria dove arrivo a dover risolvere la relazione
3sin(x) + cos(x)= 2*radq(2)
La relazione secondo il libro è giusta ma il risultato a lui viene pigreco/4, io invece non so come risolverla perché con il metodo dell’angolo aggiunto mi viene l’arcotangente di 1/3 che non è un valore noto della tangente e con il metodo algebrico mi vengono risultati altrettanto strani.
Qualcuno può aiutarmi?
58
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Livello 1
La funzione
* f(x) = y = 3*sin(x) + cos(x)
ha periodo 2*π e valori nell'intervallo [- √10, √10] pertanto, poiché
* 2*√2 = √8 < √10
l'equazione
* f(x) = y = 3*sin(x) + cos(x) = 2*√2
ha di certo due radici reali simmetriche rispetto alla cresta del semiperiodo positivo che si ripresentano in ciascun periodo. Quindi è sufficiente limitare i calcoli a un solo periodo.
Con le posizioni
* c = cos(x)
* s = sin(x)
* c^2 + s^2 = 1
si ha
* f(x) = y = 3*sin(x) + cos(x) = 2*√2 ≡
≡ (3*s + c = 2*√2) & (c^2 + s^2 = 1)
con risolvente
* (2*√2 - 3*s)^2 + s^2 - 1 = 0 ≡
≡ s^2 - s*√(72/25) + 7/10 = 0 ≡
≡ (s = 1/√2) oppure (s = 7/(5*√2)) ≡
≡ (sin(x) = 1/√2) oppure (sin(x) = 7/(5*√2)) ≡
≡ (x = arcsin(1/√2) = π/4) oppure (x = arcsin(7/(5*√2)) ~= 82°)
-----------------------------
"arcotangente di 1/3" ~= 72°: non c'entra nulla, avrai confuso fischi per fiaschi!
"risultati altrettanto strani": non sarà per caso arcsin(7/(5*√2))? Perché in tal caso devi aver presente che la cresta del semiperiodo positivo del primo giro (y = √10) si ha in
* x = 2*arctg((√10 - 1)/3) ~= 1.249 rad ~= 71° 33' 54''
che neanch'esso scherza, in quanto a stranezza!
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Genius I
@exprof ok perfetto, tutto chiarissimo, grazie mille 🫶
Per il metodo dell’angolo aggiunto mi sa che c’è qualcosa che mi sfugge perché mi viene l’arcotangente di 1 (coefficiente di cos(x)) su 3 (coefficiente di sin(x)).
In compenso i “risultati strani” del metodo algebrico in realtà erano un tan(x/2)=[5*radq(2)+1]/7 che credo andasse oltre i limiti geometrici del problema (che dava x al massimo di 5*pi/6) e quindi l’ho scartato, mentre l’altro tan(x/2) veniva uguale a radq(2)-1 che con mio sonmo stupore e piacere ho scoperto essere in realtà valore noto della tangente a pi/8 e quindi il risultato mi torna con x=pi/4 🙂
