Equazione goniometrica

@dedida

di nuovo.

Riscrivo:

SIN(α) + 3·COS(α) = 2 + √2·COS(α + pi/4)

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analizziamo l'ultimo termine:

COS(α + pi/4) = COS(α)·COS(pi/4) - SIN(α)·SIN(pi/4)

COS(α + pi/4) = COS(α)·(√2/2) - SIN(α)·(√2/2)

e quindi:

√2·COS(α + pi/4) = COS(α) - SIN(α)

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SIN(α) + 3·COS(α) = 2 + COS(α) - SIN(α)

quindi:

2·SIN(α) + 2·COS(α) = 2

SIN(α) + COS(α) = 1

Pongo:

{SIN(α) = y

{COS(α) = x

quindi faccio riferimento alla circonferenza goniometrica e risolvo il sistema:

{x^2 + y^2 = 1

{y + x = 1

ottengo:

[x = 0 ∧ y = 1, x = 1 ∧ y = 0]

quindi:

{COS(α) = 0

{SIN(α) = 1

α = pi/2-----> α = pi/2 +2kpi

{COS(α) = 1

{SIN(α) = 0

α = 0---------> α = 2kpi

 

 

 

 

Sviluppando secondo la formula di addizione del seno e sostituendo i valori

sin x + 3 cos x = 2 + rad(2) [ cos x cos pi/4 - sin x sin pi/4 ]

sin x + 3 cos x = 2 + rad(2) * [ rad(2)/2 cos x - rad(2)/2 sin x ]

sin x + 3 cos x = 2 + rad(2)*rad(2)/2 ( cos x - sin x )

sin x + 3 cos x = 2 + cos x - sin x

sin x + sin x + 3 cos x - cos x = 2

2 sin x + 2 cos x = 2

sin x + cos x = 1

Questa é una equazione lineare e ha una soluzione intuitiva

rad(2)/2 cos x + rad(2)/2 sin x = rad(2)/2

che significa anche

sin (x + pi/4) = sin pi/4

Ora se due angoli hanno lo stesso seno sono uguali

x + pi/4 = pi/4 + 2 k pi => x = 2 k pi, k in Z

oppure supplementari

x + pi/4 = pi - pi/4 + 2 k pi => x = pi/2 + 2 k pi, k in Z