Equazione goniometrica

2·COS(x - pi/6) - TAN(x/2) = √3·COS(x)

Formule parametriche:

SIN(α) = 2·t/(1 + t^2)

COS(α) = (1 - t^2)/(1 + t^2)

t = TAN(α/2)

con α ≠ pi + 2·k·pi

Risistemiamo l'equazione data:

COS(x - pi/6) = COS(x)·COS(pi/6) + SIN(x)·SIN(pi/6)

COS(x - pi/6) = √3·COS(x)/2 + SIN(x)/2

2·(√3·(1 - t^2)/(1 + t^2)/2 + 2·t/(1 + t^2)/2) - t = √3·(1 - t^2)/(1 + t^2)

2·(- (√3·t^2 - 2·t - √3)/(2·(t^2 + 1))) - t = √3·(1 - t^2)/(1 + t^2)

(2·t/(t^2 + 1) + 2·√3/(t^2 + 1) - √3) - t - √3·(1 - t^2)/(1 + t^2) = 0

(t - t^3)/(t^2 + 1) = 0

t·(t + 1)·(1 - t)/(t^2 + 1) = 0

t·(t + 1)·(1 - t) = 0----> t = -1 ∨ t = 1 ∨ t = 0

TAN(x/2) = -1----> x = 3·pi/2 + 2·k·pi

TAN(x/2) = 1-----> x = pi/2 + 2·k·pi

TAN(x/2) = 0----> x = 2·k·pi

$ 2(\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2} sinx) - tan(\frac{x}{2}) = \sqrt{3} cosx $

$ \sqrt{3}cosx+ sinx - tan(\frac{x}{2}) =  \sqrt{3}cosx $

$ sinx = tan(\frac{x}{2}) $

$ 2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) = \frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})} $

due casi

i) Se $sin(\frac{x}{2}) = 0$ cioè x = 0 allora l'equazione è verificata.

• Una soluzione è x = 2kπ

ii) Se $sin(\frac{x}{2}) ≠ 0$ posso semplificare

$ 2cos^2(\frac{x}{2}) = 1 $

$ cos(\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}  \; ⇒ \; \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{4}) \; ⇒ \;  x = \pm \frac{\pi}{2} $

Considerando la periodicità le altre soluzioni sono

• $x = - \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
• $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

con $ k \in\mathbb{Z} $$