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Equazione goniometrica

$ tan^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}) +8sinx = 7 $

$ \left(\frac{1-tan(\frac{x}{2})}{1+tan(\frac{x}{2})} \right)^2 + 8sinx = 7 $

$ \left(\frac{1-tan(\frac{x}{2})}{1+tan(\frac{x}{2})} \right)^2 + 8\frac{2tan(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})} = 7 $

Poniamo $t = tan(\frac{x}{2})$

$ (\frac{1-t}{1+t})^2 + \frac{16t}{1+t^2} = 7 $

$ (1-2t+t^2)(1+t^2) +16t(1+2t+t^2) = 7(1+t^2)(1+2t+t^2) $

$ 6t^4-20t^2+6 = 0 $ Le cui 4 soluzioni sono:

$ t = \pm \sqrt{3} \; ⇒ \; \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} \; ⇒ \; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi $
$ t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \; ⇒ \; \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} \; ⇒ \; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi $

con $ k \in \mathbb{Z} $