[Risolto] Equazione goniometrica

COS(x)^2 - SIN(x)^2 - 2·COS(x + 3/4·pi) = 0

Essendo:

COS(x + 3/4·pi) = COS(x)·COS(3/4·pi) - SIN(x)·SIN(3/4·pi)

COS(x + 3/4·pi) = - √2·COS(x)/2 - √2·SIN(x)/2

Quindi l'equazione diventa:

COS(x)^2 - SIN(x)^2 + √2·COS(x) + √2·SIN(x) = 0

posto

{COS(x) = Χ

{SIN(x) = Υ

risolvo il sistema:

{Χ^2 - Υ^2 + √2·Χ + √2·Υ = 0

{Χ^2 + Υ^2 = 1

che fornisce soluzione:

[Υ = √2/2 ∧ Χ = - √2/2 , Υ = - √2/2 ∧ Χ = √2/2]

Quindi:

{SIN(x) = √2/2

{COS(x) = - √2/2

da cui x = 3·pi/4

{SIN(x) = - √2/2

{COS(x) = √2/2

da cui x = - pi/4

Quindi soluzione generale dell'equazione proposta è:

x = - pi/4 + k·pi

cos^2(x) - sin^2(x) - 2 cos (x + 3/4 pi) = 0

cos^2(x) - sin^2(x) - 2 [ cos x cos 3/4 pi - sin x sin 3/4 pi ] = 0

cos^2(x) - sin^2(x) - 2 [ cos x (-rad(2)/2) - sin x * rad(2)/2 ] = 0

cos^2(x) - sin^2(x) + rad(2) cos x - rad(2) sin x = 0

(cos x - sin x) (cos x + sin x) + rad(2) (cos x - sin x) = 0

(cos x - sin x) ( cos x + sin x + rad(2) ) = 0

si spezza in due equazioni lineari

cos x = sin x

tg x = 1

x = pi/4 + k pi

e cos x + sin x = - rad 2

sin (x + pi/4) = -1