Equazione esponenziale n.3 risolvibile con logaritmi

(1/2)^(-x) = 10^x - 2^(x + 1)

2^x = 10^x - 2^(x + 1)

2^x + 2^(x + 1) = 10^x

3·2^x = 10^x

Mettiamo sotto segno di LN:

LN(3·2^x) = LN(10^x)

LN(3) + x·LN(2) = x·LN(10)

x·LN(10) - x·LN(2) = LN(3)

x·LN(5) = LN(3)

x = LN(3)/LN(5)

che possiamo anche scrivere:

LN(3)/LN(5) = LOG(5, 3)

Problema:

Risolvere la seguente equazione:

$(\frac{1}{2})^{-x} =10^x -2^{x+1}$

Soluzione:

L'obiettivo è avere un termine a destra e un termine a sinistra in modo da poter utilizzare i logaritmi. 

$(\frac{1}{2})^{-x} =10^x -2^{x+1}$

$(2)^{x} =10^x -2^{x+1}$

$(2)^{x} +2^{x+1}=10^x $

$2^x+2 \times 2^x =10^x$

$2^x(1+2)=(2\times 5)^x$

$3\times 2^x=2^x \times 5^x$

Poiché $2^x$ non è mai nulla, si ha che:

$3=5^x$

Si fa il logaritmo in base $5$ su entrambi i lati

$\log_5 3 =\log_5 5^x$

Per le proprietà dei logaritmi vale:

$\log_5 3 =x \log_5 5$

$\log_5 3 =x$

Quindi

$x=\log_5 3 $.

Se non è chiara la risoluzione e conosci (bene) il funzionamento delle equazioni, il problema è probabilmente nelle proprietà delle potenze e dei logaritmi, in tal caso rivedile. Se hai dubbi non esitare a chiedere 😉

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$\small \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x} = 10^x-2^{x+1}$

$\small 2^x = 10^x-2^{x+1}$

$\small 2^x +2^{x+1}= 10^x$

$\small 2^x +2^x·2^1= 10^x$

$\small 2^x +2^x·2= 10^x$

$\small 2^x(1+2)= 10^x$

$\small 2^x·3= 10^x$

$\small \dfrac{2^x·3}{2^x} = \dfrac{10^x}{2^x}$

$\small \dfrac{\cancel{2^x}·3}{\cancel{2^x}} = \left(\dfrac{\cancel{10}^5}{\cancel2_1}\right)^x$

$\small 3 = 5^x$

$\small  5^x = 3$

$\small x= \dfrac{log(3)}{log(5)}$

$\small x= log_{(5)}(3)$