Equazione esponenziale n. 11

$4^{2x-1}-4^{2x+1}+3\cdot 2^{4x}=-\dfrac{3}{2}$

Per la proprietà della divisione, posso rappresentare $4^{2x-1}=\dfrac{4^{2x}}{4} = \frac{1}{4} \cdot 4^{2x}$, se ora applico la proprietà di potenza di potenza ottengo che $4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x}$, quindi sostituisco il primo termine con $\dfrac{1}{4} \cdot 2^{4x}$. Analogamente, il secondo termine può essere riscritto come $-4 \cdot 2^{4x}$.

$\frac{1}{4} \cdot 2^{4x}-4 \cdot 2^{4x} + 3 \cdot 2^{4x} = -\dfrac{3}{2}$
$2^{4x}\cdot 2(\frac{1}{4} -4 +3) = -3$

$- \frac{3}{2} 2^{4x} =-3$

$-\frac{3}{2}2^{4x} +3=0$

$3(-\frac{1}{2}2^{4x}+1)=0$

Per la legge dell'annullamento del prodotto poniamo $-\frac{1}{2}2^{4x}+1=0$:

$-\dfrac{1}{2} 2^{4x} +1 =0$

$2^{4x} -2 =0$

$2^{4x} = 2$

$\log_2(2^{4x}) = \log_2(2^1)$

$4x = 1$

$x=\frac{1}{4}$.

Potevi risolvere già da $2^{4x} =2^1$ ponendo direttamente $4x=1$ perché entrambi i membri hanno la stessa base, ma per una questione di formalità ho applicato il logaritmo.

Noto che gli esercizi che posti sono molto simili, oltre che risolvere questo problema, volevo anche darti una strategia per risolvere le equazioni esponenziali:

Cerca di portare quanti più addenti possibili sulla stessa base ed eventualmente fare cambi di variabile, per fare entrambe queste cose è necessario che tu conosca bene le regole delle potenze e che abbia una certa dimestichezza con quest'ultime (ad esempio, nell'equazione $4^x-2^{x+1}+1=0 \implies 2^{2x}-2 \cdot 2^x+1$, puoi porre $2^x=t$ e risolvere in $t$ la seguente: $t^2-2t+1 =(t-1)^2=0 \implies t=1 \implies 2^x=t =1 \implies x=0$).