[Risolto] Equazione esponenziale

3^(-x) + 3^x = 10/3

Questa equazione é riducibile ad algebrica con la sostituzione classica 3^x = t

con t > 0 e 3^(-x) = 1/3^x = 1/t

 

t + 1/t - 10/3 = 0     ed essendo t =/= 0

3t^2 - 10t + 3 = 0

3t^2 - 9t - t + 3 = 0

3t(t - 3) - (t - 3) = 0

(t - 3)(3t - 1) = 0

t = 3 V 3t = 1 => t = 1/2

 

3^x = 3 => 3^x = 3^1 => x = 1

3^x = 1/3 =>  3^x = 3^(-1) => x = -1

dovevamo aspettarci radici opposte perché l'equazione originaria é

invariante per inversione del segno di x, cioé l'espressione di sinistra é

una funzione pari.

A) RISOLUZIONE PER ISPEZIONE (passaggi a mente osservando la forma dell'equazione)
Il primo membro è 2*cosh(x*ln(3)), somma di due inversi; il coseno iperbolico è pari, quindi l'equazione se ha radici reali le ha simmetriche (e le ha, perché 10/3 > 2*cosh(0) = 2); una minima prova mentale per trovare una potenza di tre che sommata alla sua inversa dia 10/3 dà: 1/3^0 + 3^0 = 2 < 10/3, 1/3^1 + 3^1 = 10/3, 1/3^2 + 3^2 = 82/9 > 10/3, ... basta così.
* x = ± 1.
==============================
B) RISOLUZIONE CON PASSAGGI
------------------------------
B1) Spiegazione dei vari passaggi
Riconoscere che 3^(- x) = 1/3^x.
Moltiplicare membro a membro per 3^x.
Sottrarre membro a membro il secondo membro.
Commutare ordinando sulle potenze di 3^x.
Riconoscere e risolvere un'equazione razionale intera di grado due in 3^x.
Risolvere le due equazioni esponenziali ottenute come soluzione di quella razionale.
Esibire il risultato.
---------------
B2) I vari passaggi
161) 3^(- x) + 3^x = 10/3 ≡
≡ 1/3^x + 3^x = 10/3 ≡
≡ 1 + (3^x)*3^x = (10/3)*3^x ≡
≡ 1 + (3^x)^2 - (10/3)*3^x = 0 ≡
≡ (3^x)^2 - (10/3)*3^x + 1 = 0 ≡
≡ u^2 - (10/3)*u + 1 = 0 ≡
≡ (u = 1/3) oppure (u = 3) ≡
≡ (3^x = 1/3) oppure (3^x = 3) ≡
≡ (x = - 1) oppure (x = 1) ≡
≡ x = ± 1