[Risolto] Equazione esponenziale

PROCEDIMENTO PER RISOLVERLA
A) Ricavare la condizione di buona definizione.
B) Scrivere una successione di equivalenze, condizionate da A, fino a isolare x.
ATTENZIONE: forse hai sbagliato a ricopiare in fretta, la soluzione è intricata assai!
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A) Condizione + considerazioni
L'equazione
* 4^(x + 8) = 1/(4^(2*x) - 5)
ha senso se e solo se
* 4^(2*x) != 5 ≡ 2^(4*x) != 5 ≡
≡ log(2, 2^(4*x)) != log(2, 5) ≡
≡ 4*x != log(2, 5) ≡
≡ x != log(2, 5)/4 = C = ln(5)/ln(16) ~= 0.580482
Il grafico del primo membro, y = 4^(x + 8), è positivo e crescente ovunque.
Il grafico del secondo membro, y = 1/(4^(2*x) - 5), è decrescente ovunque ed ha:
* un asintoto verticale per x = C dove cambia segno (y < 0 per x < C, y > 0 per x > C);
* due orizzontali per y = - 1/5 da sotto e per y = 0 da sopra;
* nessuno obliquo.
Quindi l'equazione ha una sola radice reale nella semiretta x > C.
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B) Equivalenze condizionate
* (4^(x + 8) = 1/(4^(2*x) - 5)) & (x != C) ≡
≡ (2^(2*x + 16) = 1/(2^(4*x) - 5)) & (x != C) ≡
≡ ((2^(4*x) - 5)*2^(2*x + 16) = 1) & (x != C) ≡
≡ (2^(6*x + 16) - 5*2^(2*x + 16) = 1) & (x != C) ≡
≡ ((2^16)*2^(6*x) - 5*(2^16)*2^(2*x) - 1 = 0) & (x != C) ≡
≡ (2^(6*x) - 5*2^(2*x) - 1/2^16 = 0) & (x != C) ≡
≡ (u^3 - 5*u - 1/2^16 = 0) & (x != C) ≡
≡ (u^3 - 5*u - 1/2^16 = 0) & (x != C)
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B1) L'equazione
* u^3 - 5*u - 1/2^16 = 0
ha tre radici reali espresse dai complicati radicali annidati di Tartaglia-Cardano e che non ho voglia di dattilografare in linea; ai fini dell'esercizio basta ragionare sulle approssimazioni numeriche
* u1 ~= - 2.2360665
* u2 ~= - 0.0000305
* u3 ~= + 2.2360695
quindi
* (u^3 - 5*u - 1/2^16 = 0) & (x != C) ≡
≡ ((u = - 2.2360665) oppure (u = - 0.0000305) oppure (u = 2.2360695)) & (x != C) ≡
≡ ((2^(2*x) = - 2.2360665) oppure (2^(2*x) = - 0.0000305) oppure (2^(2*x) = 2.2360695)) & (x != C) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (log(2, 2^(2*x)) = log(2, 2.2360695))) & (x != C) ≡
≡ (2*x = log(2, 2.2360695)) & (x != C) ≡
≡ (x = log(2, 2.2360695)/2) & (x != ln(5)/ln(16) ~= 0.5804820) ≡
≡ (x ~= 0.5804826) & (x != ln(5)/ln(16) ~= 0.5804820)
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B2) Conclusione: C'E' QUALCOSA DI SBAGLIATO NEL TESTO, SENZA FORSE.

Poni 4^(x)=t

Quindi: 4^(2x)=t²

Risolvi l'equazione in t. Determini le soluzioni t1, t2, tn... Risolvi:

4^x = t1

4^x = t2

4^x = tn

Come sai perfettamente 

Le parentesi, queste sconosciute 😯