[Risolto] Equazione ellisse

Ciao di nuovo @beppe!

Quando hai problemi con curve traslate, come quest'ellisse, ti conviene lavorare prima sulla curva con centro nell'origine, per poi traslare il risultato.

Nota prima di tutto che il centro dell'ellisse, punto medio tra i due fuochi, cade nel punto:

$C=(\frac{-2-2}{2},\frac{-2+2}{2}) = (-2, 0)$

Quindi se consideriamo l'ellisse di centro O(0,0) per svolgere l'esercizio, per ottenere il risultato dovremo traslare l'ellisse ottenuta di vettore v(-2,0).

Sappiamo già che il semiasse minore è a=1.

Possiamo calcolare la distanza focale come distanza tra i fuochi:

$F_1F_2 = |-2-2| = 4$

Dunque la semidistanza  focale è:

$c = 2$

Poiché i fuochi sono allineati verticalmente, l'ellisse ha a < b.

Ricordando che in questo caso

$ c^2 = b^2 - a^2$

Ricaviamo che:

$ b^2 = c^2 + a^2 = 4 + 1 = 5$

Dunque l'ellisse di centro l'origine avrà equazione:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

$ x^2 + \frac{y^2}{5} = 1$

Trasliamola ora di vettore v(-2 , 0). La traslazione ha equazione:

{$x' = x-2$

{$y'=y+0$

da cui

{$x = x'+2$

{$y = y'$

e dunque sostituendo nell'ellisse:

$(x'+2)^2 + \frac{y'^2}{5} = 1$

da cui, togliendo gli apici e svolgendo i calcoli:

$x^2 + 4x +4 +\frac{y^2}{5} = 1$

e facendo il mcm:

$5x^2 +20x + 20 + y^2 = 5$

$5x^2 +y^2 + 20x + 15 =0$

Ciao!

Noemi

Ciao. Intanto il grafico:

Osserva che le coordinate dei due fuochi sono tali per cui evidenziano la stessa ascissa x=-2 e le loro ordinate-2 e 2 ti fanno capire che il centro di tale ellisse è posto in C(-2,0).

I parametri a,b,c dell'ellisse in studio indicano che siano correlati tramite:

b^2 = c^2 + a^2

L'equazione che devi scrivere è:

(x + 2)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Quindi si tratta di sostituire:

b^2 = (-2)^2 + 1^2--------> b^2 = 5

ed ottieni l'equazione:

(x + 2)^2 + y^2/5 = 1

equivalente a scrivere:

5·x^2 + y^2 + 20·x + 15 = 0

Fuochi allineati su una parallela a un asse coordinato ≡ equazione di forma
* Γ ≡ ((x - xC)/a)^2 + ((y - yC)/b)^2 = 1 ≡
≡ ((x + 2)/1)^2 + ((y - 0)/b)^2 = 1
con
* semiassi (a, b) = (1, b)
* centro C(xC, yC) = (- 2, 0)
perché
* i fuochi sulla x = - 2 significano a < b
* il centro C = (F1 + F2)/2 è il punto medio dei fuochi.
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Il semiasse maggiore b è ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti il semiasse minore a e la semidistanza focale
* c = (yF2 - yF1)/2 = 2
quindi
* b^2 = a^2 + c^2 = 1^2 + 2^2 ≡ b = √5
e infine
* Γ ≡ (x + 2)^2 + (y/√5)^2 = 1 ≡
≡ 5*x^2 + y^2 + 20*x + 15 = 0
che è proprio il risultato atteso.