[Risolto] Equazione diofantea

Guardiamo l'uguaglianza $7x^{4}+5y^{6}-3z^{3}=0$ modulo 7.

Otteniamo quindi $5y^{6}-3z^{3}=0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$, osserviamo che se, per assurdo, $y=0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$ allora l'uguaglianza diventa $-3z^{3}=4z^{3}=0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$ che (poichè $\operatorname{mcd}\left(4,7\right)=1$) implica $z^{3}=0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right) \Rightarrow z=0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$ e quindi $7 \vert \operatorname{mcd}\left(y,z\right)$ che è contro le ipotesi.

Quindi sappiamo che $y \not =0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$ ma allora, per il Piccolo teorema di Fermat, $y^{6}=1\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$ da cui, sostituendo nell'uguaglianza di partenza, $5-3z^{3}=0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$, ma è facile notare (per esempoi tramite calcolo diretto) che $z^{3}\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$ può assumere solo i valori $0,\ 1,\ -1$ per i quali si ha rispettivamente $5-3\left(0\right)^{3}=5 \not =0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$, $5-3\left(1\right)^{3}=2 \not =0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$ e $5-3\left(-1\right)^{3}=8=1 \not =0\ \left(\operatorname{mod}\ 7\right)$ dunque in ogni caso non riusciamo a risolvere l'uguaglianza con $x,y,z \in Z$ in $\operatorname{mod}\ 7$ per ciò a maggior ragione l'uguaglianza non si può soddisfarre in $Z$ e perciò non esistono gli $x,\ y,\ z$ cercati (diversi da $\left(0,0,0\right)$).