E' possibile integrare in modo esatto l'equazione indicata ?
y' = e^x * ( 1 - e^(a^2 - y^2) )
y(0) = 0
Può essere che sia semplice, ma non riesco a vederlo.
PS. E' gradita anche una risposta negativa "l'equazione può essere risolta solo per via numerica" ma dovrebbe essere motivata in modo un pò più consistente del mero fatto che Wolfram e Symbolab non si esprimono.
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Livello 6
Ho testato con Mathematica e Rubi (un package che da gli step di integrazione).
Si possono separare le variabili ottenendo:
dy/(1-exp(a²-y²))=eˣdx
il primo membro non è esprimibile in forma chiusa.
definendo
F(y)=∫dy/(1-exp(a²-y²))
si ha
F(y)=eˣ+c
y=F⁻¹(eˣ+c)
y(0)=0 ⇒
F⁻¹(1+c)=0
a seconda del valore di a si può tentare con Taylor e l'integrazione per serie.
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Livello 0
@gianluigi Ok, è più o meno quello che avevo pensato io, ma pensavo di applicare lo sviluppo in serie all'integrando e andare per approssimazione
si se conosci a puoi integrare lo sviluppo in serie. Tieni conto che
Puoi avere un caso limite:
a²>>y²
per cui trascurando 1 a denominatore hai,
-(√π/2)erfi(y)=eˣ+c
negli altri casi puoi integrare per serie conoscendo a per y in un certo intervallo
se poni a=0
hai
∫(1/(1-exp(-y²)))dx
e puoi svilupparlo in serie. la realazione tra y e a è importante.
@gianluigi benissimo, il valore originario di a^2 era 49
Ad esempio se
0<a²-y²<<1
si ottiene
I≈
tan⁻¹(3y/√(1-9a²))/(3√(1-9a²)) a sinistra
Non si può fare perché hai int dy 1/(1-e^(y²))
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Livello 0
