[Risolto] Equazione differenziale ordinaria non lineare

Io i passaggi di WolframAlpha li ho trovati e, almeno all'inizio, assomigliano all'idea che m'era venuta guardando l'espressione scritta da te; poi diventano intricati e macchinosi, ma conducono al fascio d'iperboli che hai trovato tu.
* (x*y' - y)^2/y' = C ≡
≡ ((x*y' - y)^2 - C*y' = 0) & (y' != 0) ≡
≡ ((x^2)*(y')^2 - (2*x*y + C)*y' + y^2 = 0) & (y' != 0) ≡
≡ ((x^2)*z^2 - (2*x*y + C)*z + y^2 = 0) & (z != 0) ≡
≡ (z = ((2*x*y + C) ± √((4*x*y + C)*C))/(2*x^2)) & (((2*x*y + C) ± √((4*x*y + C)*C))/(2*x^2) != 0) ≡
≡ (y' = ((2*x*y + C) - √((4*x*y + C)*C))/(2*x^2)) & (((2*x*y + C) - √((4*x*y + C)*C))/(2*x^2) != 0)
oppure
≡ (y' = ((2*x*y + C) + √((4*x*y + C)*C))/(2*x^2)) & (((2*x*y + C) + √((4*x*y + C)*C))/(2*x^2) != 0)
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Quindi con la mia sostituzione z = y', bella semplice e naturale, le cose peggiorano anziché semplificarsi. Con la sostituzione proposta da WolframAlpha
* z = 4*x*y + C
si ha
* (y = (z - C)/(4*x)) & (x != 0)
* (y' = (x*z' - z + C)/(4*x^2)) & (x != 0)
* ((x^2)*(y')^2 - (2*x*y + C)*y' + y^2 = 0) & (y' != 0) ≡
≡ ((x^2)*(z')^2 - 4*x*z*z' + 4*(z - C)*z = 0) & (y' != 0) & (x != 0) ≡
≡ ((z' = 2*(z - √(C*z))/x) oppure (z' = 2*(z + √(C*z))/x)) & (y' != 0) & (x != 0) ≡
≡ ((z = ((C*e^(c/2) - x)^2)/(C*e^c)) oppure (z = (C - c*x)^2/C)) & (y' != 0) & (x != 0) ≡
≡ ((4*x*y + C = ((C*e^(c/2) - x)^2)/(C*e^c)) oppure (4*x*y + C = (C - c*x)^2/C)) & (y' != 0) & (x != 0) ≡
≡ ((y = - C/(4*x)) oppure (y = - C/(4*x))) & (y' != 0) & (x != 0) ≡
≡ (x*y = - C/4) & (y' != 0) & (x != 0)
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NON TI FIDARE: ripercorri tutto passo per passo, la mia atrofia cerebrale è dichiarata da un referto di pronto soccorso (TAC encefalo del 27 maggio 2023).