[Risolto] Equazione di un piano

56·x + 72·y - 3·z + 20 = 0

è il piano in forma cartesiana

Analogamente alla retta nel piano, il piano nella forma segmentaria possiamo scriverlo:

x/α + y/β + z/γ - 1 = 0 (ho spostato 1 al 1° membro: i 3 coefficienti segnati rappresentano le intercette del piano con gli assi coordinati)

Moltiplicando per -20 ottengo:

- 20·x/α - 20·y/β - 20·z/γ + 20 = 0

quindi per confronto si ha:

{- 20/α = 56  ------> α = - 5/14

{- 20/β = 72-------> β = - 5/18

{- 20/γ = -3--------> γ = 20/3

x/(- 5/14) + y/(- 5/18) + z/(20/3) - 1 = 0

- 14·x/5 - 18·y/5 + 3·z/20 - 1 = 0 equazione segmentaria del piano

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Per ottenere le equazioni parametriche si deve osservare che sono presenti nella cartesiano tutte e tre le incognite. Si deve quindi mettere 2 delle tre incognite ad esempio x ed y pari a  parametri arbitrari e ricavare z in funzione dei due parametri arbitrari:

{x = s

{y = t

{z = 56·s/3 + 24·t + 20/3

equazioni parametriche del piano assegnato.

@luigi2

Ciao Luigi, 

Determino la forma segmentaria dell'equazione 

Buona giornata. 

vedi qui:

https://www.andreaminini.org/matematica/spazio-vettoriale/equazione-vettoriale-parametrica-e-cartesiana-del-piano#come_passare_dal l'equazione_cartesiana_all'equazione_parametrica_del_piano

56x+72y-3z+20=0  

per una rappresentazione parametrica ricavi z 

3z = 56x + 72y + 20

z = 56/3 x + 24 y + 20/3 

e scrivi 

x = u

y = v

z = 56/3 u + 24 v + 20/3 

per la scrittura segmentaria invece 

56x + 72 y - 3z = -20 

dividi per -20 

56/(-20) x + 72/(-20) y - 3/(-20) = 1

x/a + y/b + z/c = 1

con a = -20/56, b = -20/72, c = 20/3

Data in forma normale canonica l'equazione
* π ≡ 56*x + 72*y - 3*z + 20 = 0
del piano "π", si chiede di ricavarne l'espressione di altre forme normali.
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a) Forma normale parametrica
* π ≡ 56*x + 72*y - 3*z + 20 = 0 ≡
≡ z = (56*x + 72*y + 20)/3 ≡
≡ (x = h) & (y = k) & (z = (56*h + 72*k + 20)/3)
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b1) Forma normale standard (forma intermedia da canonica a segmentaria)
* π ≡ 56*x + 72*y - 3*z + 20 = 0 ≡
≡ 56*x + 72*y - 3*z = - 20
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b2) Forma normale segmentaria
* π ≡ 56*x + 72*y - 3*z + 20 = 0 ≡
≡ 56*x + 72*y - 3*z = - 20 ≡
≡ 56*x/(- 20) + 72*y/(- 20) - 3*z/(- 20) = 1 ≡
≡ x/(- 20/56) + y/(- 20/72) + z/(- 20/(- 3)) = 1 ≡
≡ x/(- 5/14) + y/(- 5/18) + z/(20/3) = 1