[Risolto] equazione di secondo grado

Due navi partono contemporaneamente da uno stesso porto e arrivano alla stessa destinazione dopo aver percorso sulla stessa rotta a velocità costante 720 miglia. Sapendo che una delle due navi viaggia con una velocità di 1 nodo (1 miglio all'ora) superiore a quella dell'altra nave e che perciò arriva 3 ore prima a destinazione, determina le velocità in nodi delle due navi. [15; 16]

V1*t = (V1-1)*(t+3)

V1*t = V1*t-t+3V1-3 

{t+3 = 3V1

{t = 720/V1

720/V1+3 = 3V1

3V1^2-3V1-720 = 0

V1^2-V1-240 = 0

V1 = (1+√1+240*4)/2 = (1+31)/2 = 16 knots

V2 = V1-1 = 16-1 = 15 knots 

bonus

t = 720/16 = 45 h 

t+3 = 45+3 = 48 h 

Se le velocità delle due navi sono v e v+1

allora deve risultare 

720/v = 720/(v+1) + 3

720(v+1) = 720v + 3v(v+1)

720 = 3v^2 + 3v

v^2 + v - 240 = 0

v^2 + 16v - 15v - 240 = 0

v(v+16)-15(v+16)=0

(v+16)(v-15)=0

La sola radice positiva è v = 15

e allora le due velocità sono

15 e 16 nodi. 

FAI UN DISEGNO
In un riferimento Oxy con x in ore e y in nmi (miglia nautiche internazionali) con "uno stesso porto" nell'origine i due moti rettilinei uniformi sono rette di forma "y = m*x" con la pendenza m in kn (nodi internazionali).
Il testo dice che:
* la retta x = 1 interseca la y = k*x in H(1, k) e la y = (k + 1)*x in K(1, k + 1);
* la retta y = 720 interseca la y = k*x in Q(T + 3, 720) e la y = (k + 1)*x in P(T, 720).
I valori dei parametri (k e T, positivi) devono essere tali che le rette HQ e KP
* HQ ≡ y = ((720 - k)/(T + 2))*x + (k*(T + 3) - 720)/(T + 2)
* KP ≡ y = ((719 - k)/(T - 1))*x + ((k + 1)*T - 720)/(T - 1)
passino per l'origine, cioè che i termini noti siano nulli ovvero che le pendenze siano k e k + 1.
* ((k*(T + 3) - 720)/(T + 2) = 0) & (((k + 1)*T - 720)/(T - 1) = 0) & (k > 0) & (T > 0) ≡
≡ (T = 3*(240 - k)/k) & (T = 720/(k + 1)) & (0 < k < 240) & (T > 0)
---------------
La risolvente è la tua "equazione di secondo grado" del titolo
* (T = 3*(240 - k)/k = 720/(k + 1) > 0) & (0 < k < 240) ≡
≡ (3*(240 - k)/k - 720/(k + 1) = 0) & (0 < k < 240) ≡
≡ (k^2 + k - 240 = 0) & (0 < k < 240) ≡
≡ ((k = - 16) oppure (k = 15)) & (0 < k < 240) ≡
≡ k = 15 kn
da cui
* k + 1 = 16 kn
che è proprio il risultato atteso.
------------------------------
Le unità non-SI sono un po' curiose.
Se "ora" significa quasi sempre 3600 s (o rarissimamente, dopo il 1971, 3601 s) non si può giurare sull'univoco significato di "miglio" e "nodo": se sono internazionali (1 nmi = 1852 m; 1 kn = 0.5144 m/s) è un conto d'oggi; ma se sono dell'Ammiragliato (1 admiralty knot = 0.5148 m/s) i conti sono diversi, come quelli di Hornblower Commodoro e Lord.